Để giải hệ phương trình và tìm tham số \( a \) để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm, ta xét hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
ax - y = 1 \\
2x + y = a - 1
\end{cases}
\]

**a) Hệ có nghiệm duy nhất:**

Để hệ có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0. Ta xét định thức của ma trận hệ số:

\[
\Delta = \begin{vmatrix}
a & -1 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = a \cdot 1 - (-1) \cdot 2 = a + 2
\]

Để hệ có nghiệm duy nhất, ta cần:

\[
a + 2 \neq 0 \implies a \neq -2
\]

**b) Hệ vô nghiệm:**

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0 và định thức của ma trận mở rộng khác 0. Ta xét định thức của ma trận hệ số:

\[
\Delta = a + 2 = 0 \implies a = -2
\]

Khi \( a = -2 \), ta xét ma trận mở rộng:

\[
\Delta' = \begin{vmatrix}
-2 & -1 & 1 \\
2 & 1 & -3
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức của ma trận mở rộng:

\[
\Delta' = (-2) \cdot 1 \cdot (-3) + (-1) \cdot 2 \cdot (-3) = 6 + 6 = 12 \neq 0
\]

Vậy khi \( a = -2 \), hệ vô nghiệm.

**c) Hệ vô số nghiệm:**

Hệ vô số nghiệm khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0 và định thức của ma trận mở rộng cũng bằng 0. Ta đã có:

\[
\Delta = a + 2 = 0 \implies a = -2
\]

Khi \( a = -2 \), ta xét ma trận mở rộng:

\[
\Delta' = \begin{vmatrix}
-2 & -1 & 1 \\
2 & 1 & -3
\end{vmatrix} = 12
\]

Tuy nhiên, để hệ có vô số nghiệm, định thức của ma trận mở rộng phải bằng 0. Do đó, không có giá trị \( a \) nào thỏa mãn điều kiện này.

Tóm lại:
- Hệ có nghiệm duy nhất khi \( a \neq -2 \).
- Hệ vô nghiệm khi \( a = -2 \).
- Hệ không có giá trị \( a \) nào để có vô số nghiệm.