Để chứng minh rằng đường thẳng \( IT \) đi qua trung điểm của \( AB \) và \( CD \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình thang và các đường trung bình.

1. **Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \).**

2. **Xét tam giác \( ABD \) và tam giác \( BCD \):**
- Trong tam giác \( ABD \), \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- Trong tam giác \( BCD \), \( N \) là trung điểm của \( CD \).

3. **Sử dụng định lý đường trung bình trong tam giác:**
- Đường trung bình của tam giác nối trung điểm của hai cạnh sẽ song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài của cạnh đó.
- Do đó, \( MN \parallel AB \parallel CD \).

4. **Xét tam giác \( ACD \) và tam giác \( BCD \):**
- Trong tam giác \( ACD \), \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( CD \).
- Đường thẳng \( MN \) nối trung điểm của \( AB \) và \( CD \) sẽ là đường trung bình của hình thang \( ABCD \).

5. **Xét giao điểm \( I \) của \( AC \) và \( BD \):**
- \( I \) là giao điểm của hai đường chéo của hình thang, do đó \( I \) là điểm chia đôi các đường chéo theo tỉ lệ bằng nhau.

6. **Xét giao điểm \( T \) của \( AD \) và \( BC \):**
- \( T \) là giao điểm của hai đường chéo phụ của hình thang.

7. **Chứng minh rằng \( IT \) đi qua trung điểm của \( AB \) và \( CD \):**
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) tương ứng, và \( MN \parallel AB \parallel CD \), nên \( M \) và \( N \) nằm trên đường trung bình của hình thang.
- Đường thẳng \( IT \) đi qua \( I \) và \( T \), và vì \( I \) là giao điểm của hai đường chéo chính, \( T \) là giao điểm của hai đường chéo phụ, nên \( IT \) sẽ đi qua trung điểm của các cạnh song song \( AB \) và \( CD \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng đường thẳng \( IT \) đi qua trung điểm của \( AB \) và \( CD \).