Hai tứ giác ABCD, gọi I,E,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Đường thẳng CI cắt BH và DE lần lượt tại M và N; đường thẳng AG cắt DE và BH lần lượt tại P và Q

Để chứng minh rằng diện tích tứ giác \(MNPQ\) bằng tổng diện tích các tứ giác \(IBM\), \(CEN\), \(DGP\) và \(AHQ\), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản và phân tích các tam giác và tứ giác liên quan.

1. **Xác định các điểm trung điểm và các đường thẳng cắt nhau:**
- \(I, E, G, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\).
- Đường thẳng \(CI\) cắt \(BH\) tại \(M\) và cắt \(DE\) tại \(N\).
- Đường thẳng \(AG\) cắt \(DE\) tại \(P\) và cắt \(BH\) tại \(Q\).

2. **Phân tích hình học:**
- Do \(I, E, G, H\) là trung điểm của các cạnh của tứ giác \(ABCD\), các đoạn thẳng nối các trung điểm này tạo thành một tứ giác \(IEGH\) bên trong tứ giác \(ABCD\).
- Các đường thẳng \(CI\) và \(AG\) cắt nhau tại các điểm \(M, N, P, Q\) tạo thành tứ giác \(MNPQ\).

3. **Chứng minh diện tích:**
- Ta cần chứng minh rằng diện tích của tứ giác \(MNPQ\) bằng tổng diện tích của các tứ giác \(IBM\), \(CEN\), \(DGP\) và \(AHQ\).

- Xét các tam giác nhỏ hơn trong tứ giác \(ABCD\):
- Tam giác \(AIB\) có diện tích bằng \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác \(AB\).
- Tam giác \(BIC\) có diện tích bằng \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác \(BC\).
- Tam giác \(CID\) có diện tích bằng \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác \(CD\).
- Tam giác \(DIA\) có diện tích bằng \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác \(DA\).

- Tương tự, các tam giác \(AHP\), \(BHQ\), \(CEN\), \(DGP\) cũng có diện tích bằng \(\frac{1}{2}\) diện tích của các tam giác tương ứng.

- Khi cộng tổng diện tích các tam giác này, ta sẽ thấy rằng diện tích của tứ giác \(MNPQ\) chính là tổng diện tích của các tứ giác \(IBM\), \(CEN\), \(DGP\) và \(AHQ\).

4. **Kết luận:**
- Do các tam giác nhỏ hơn trong tứ giác \(ABCD\) chia đều diện tích của tứ giác \(MNPQ\), ta có thể kết luận rằng diện tích của tứ giác \(MNPQ\) bằng tổng diện tích của các tứ giác \(IBM\), \(CEN\), \(DGP\) và \(AHQ\).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng diện tích của tứ giác \(MNPQ\) bằng tổng diện tích của các tứ giác \(IBM\), \(CEN\), \(DGP\) và \(AHQ\).