Để chứng minh MNPH là hình thang cân, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh MNPH là hình thang cân

1. **Xác định các điểm trung điểm:**
- Gọi \( M \), \( N \), \( P \) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \( BC \), \( CA \), \( AB \).

2. **Chứng minh MNPH là hình thang:**
- Ta có \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( BC \) và \( CA \), nên \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \).
- Do đó, \( MN \parallel AB \) và \( MN = \frac{1}{2} AB \).
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), nên \( AH \perp BC \).
- Từ đó, ta có \( MN \parallel PH \) và \( MN \neq PH \), do đó tứ giác \( MNPH \) là hình thang.

3. **Chứng minh MNPH là hình thang cân:**
- Ta cần chứng minh \( MH = NP \).
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( BC \) và \( CA \), nên \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \), do đó \( MN \parallel AB \) và \( MN = \frac{1}{2} AB \).
- Tương tự, \( P \) và \( H \) là trung điểm của \( AB \) và \( BC \), nên \( PH \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \), do đó \( PH \parallel BC \) và \( PH = \frac{1}{2} BC \).
- Do đó, \( MN = PH \) và \( MN \parallel PH \), nên \( MNPH \) là hình thang cân.

### b) Chứng minh \( NE = PF \)

1. **Xác định các hình chiếu:**
- Gọi \( E \) và \( F \) lần lượt là hình chiếu của \( N \) và \( P \) trên \( BC \).

2. **Chứng minh \( NE = PF \):**
- Vì \( N \) và \( P \) là trung điểm của \( CA \) và \( AB \), nên \( N \) và \( P \) đối xứng nhau qua trung điểm của \( BC \).
- Do đó, hình chiếu của \( N \) và \( P \) trên \( BC \) cũng đối xứng nhau qua trung điểm của \( BC \).
- Vì vậy, \( NE = PF \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MNPH \) là hình thang cân và \( NE = PF \).