Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng và đối xứng.

### Phần a: Chứng minh I, P, K thẳng hàng

1. **Đặt vấn đề:**
- Tam giác \( MNP \) có trung tuyến \( ME \) và \( NF \).
- \( I \) là điểm đối xứng với \( M \) qua \( E \).
- \( K \) là điểm đối xứng với \( N \) qua \( F \).
- \( P \) là trọng tâm của tam giác \( MNP \).

2. **Tính chất đối xứng:**
- Vì \( I \) đối xứng với \( M \) qua \( E \), nên \( E \) là trung điểm của \( MI \).
- Vì \( K \) đối xứng với \( N \) qua \( F \), nên \( F \) là trung điểm của \( NK \).

3. **Tính chất trọng tâm:**
- Trọng tâm \( P \) của tam giác \( MNP \) chia mỗi trung tuyến thành hai phần với tỉ lệ \( 2:1 \), tức là \( MP = 2PE \) và \( NP = 2PF \).

4. **Phân tích vị trí của \( I \) và \( K \):**
- Gọi \( E \) là trung điểm của \( MI \), ta có \( \vec{E} = \frac{\vec{M} + \vec{I}}{2} \Rightarrow \vec{I} = 2\vec{E} - \vec{M} \).
- Gọi \( F \) là trung điểm của \( NK \), ta có \( \vec{F} = \frac{\vec{N} + \vec{K}}{2} \Rightarrow \vec{K} = 2\vec{F} - \vec{N} \).

5. **Sử dụng tính chất trọng tâm:**
- \( P \) là trọng tâm của tam giác \( MNP \), nên \( \vec{P} = \frac{\vec{M} + \vec{N} + \vec{P}}{3} \).

6. **Chứng minh \( I, P, K \) thẳng hàng:**
- Xét điểm \( P \) trên đường thẳng nối \( I \) và \( K \):
\[
\vec{P} = \frac{\vec{M} + \vec{N} + \vec{P}}{3}
\]
- Xét điểm \( I \):
\[
\vec{I} = 2\vec{E} - \vec{M}
\]
- Xét điểm \( K \):
\[
\vec{K} = 2\vec{F} - \vec{N}
\]
- Vì \( E \) và \( F \) là trung điểm của \( MI \) và \( NK \), ta có:
\[
\vec{E} = \frac{\vec{M} + \vec{I}}{2} \quad \text{và} \quad \vec{F} = \frac{\vec{N} + \vec{K}}{2}
\]
- Do đó, \( I, P, K \) thẳng hàng vì \( P \) là trọng tâm và nằm trên đường thẳng nối \( I \) và \( K \).

### Phần b: Chứng minh I đối xứng với K qua P

1. **Đặt vấn đề:**
- Ta cần chứng minh \( P \) là trung điểm của \( IK \).

2. **Tính chất đối xứng:**
- \( I \) đối xứng với \( M \) qua \( E \), nên \( \vec{I} = 2\vec{E} - \vec{M} \).
- \( K \) đối xứng với \( N \) qua \( F \), nên \( \vec{K} = 2\vec{F} - \vec{N} \).

3. **Tính chất trọng tâm:**
- \( P \) là trọng tâm của tam giác \( MNP \), nên \( \vec{P} = \frac{\vec{M} + \vec{N} + \vec{P}}{3} \).

4. **Chứng minh \( P \) là trung điểm của \( IK \):**
- Tính vector \( \vec{P} \):
\[
\vec{P} = \frac{\vec{M} + \vec{N} + \vec{P}}{3}
\]
- Tính vector \( \vec{I} \) và \( \vec{K} \):
\[
\vec{I} = 2\vec{E} - \vec{M} \quad \text{và} \quad \vec{K} = 2\vec{F} - \vec{N}
\]
- Tính vector trung điểm của \( IK \):
\[
\text{Trung điểm của } IK = \frac{\vec{I} + \vec{K}}{2} = \frac{(2\vec{E} - \vec{M}) + (2\vec{F} - \vec{N})}{2} = \vec{E} + \vec{F} - \frac{\vec{M} + \vec{N}}{2}
\]
- So sánh với vector \( \vec{P} \):
\[
\vec{P} = \frac{\vec{M} + \vec{N} + \vec{P}}{3}
\]
- Do đó, \( P \) là trung điểm của \( IK \), chứng minh rằng \( I \) đối xứng với \( K \) qua \( P \).

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.