Để giải hệ phương trình này, ta có:

1) \(2x + y = 4\)
2) \(x^2 + y^2 + 3x = 8\)

Bước 1: Từ phương trình (1), ta biểu diễn \(y\) theo \(x\):
\[ y = 4 - 2x \]

Bước 2: Thay \(y = 4 - 2x\) vào phương trình (2):
\[ x^2 + (4 - 2x)^2 + 3x = 8 \]

Bước 3: Giải phương trình trên:
\[ x^2 + (16 - 16x + 4x^2) + 3x = 8 \]
\[ x^2 + 4x^2 - 16x + 16 + 3x = 8 \]
\[ 5x^2 - 13x + 16 = 8 \]
\[ 5x^2 - 13x + 8 = 0 \]

Bước 4: Giải phương trình bậc hai \(5x^2 - 13x + 8 = 0\) bằng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
với \(a = 5\), \(b = -13\), và \(c = 8\):
\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 160}}{10} \]
\[ x = \frac{13 \pm 3}{10} \]

Do đó, ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{16}{10} = 1.6 \]
\[ x = \frac{10}{10} = 1 \]

Bước 5: Tìm \(y\) tương ứng với từng giá trị của \(x\):
- Khi \(x = 1.6\):
\[ y = 4 - 2(1.6) = 4 - 3.2 = 0.8 \]

- Khi \(x = 1\):
\[ y = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2 \]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
\[ (x, y) = (1.6, 0.8) \]
hoặc
\[ (x, y) = (1, 2) \]