Để tính đường cao \( AH \) và cạnh \( AC \) của tam giác \( ABC \) với \( BC = 21 \) cm, góc \( B = 60^\circ \), và góc \( C = 40^\circ \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Tính góc \( A \)**:
\[
A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ
\]

2. **Sử dụng định lý sin để tính cạnh \( AC \)**:
Định lý sin cho tam giác \( ABC \) là:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Trong đó:
- \( a = BC = 21 \) cm
- \( \angle A = 80^\circ \)
- \( \angle B = 60^\circ \)
- \( \angle C = 40^\circ \)

Ta cần tính cạnh \( AC \) (ký hiệu là \( b \)):
\[
\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}
\]
\[
b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{21 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}
\]
Biết rằng:
\[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
và
\[
\sin 80^\circ \approx 0.9848
\]
Thay vào công thức:
\[
b = \frac{21 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0.9848} \approx \frac{21 \cdot 0.8660}{0.9848} \approx \frac{18.186}{0.9848} \approx 18.47 \text{ cm}
\]

3. **Tính đường cao \( AH \)**:
Đường cao \( AH \) từ đỉnh \( A \) vuông góc với cạnh \( BC \). Ta sử dụng công thức:
\[
AH = AC \cdot \sin C
\]
Với \( AC \approx 18.47 \) cm và \( \sin 40^\circ \approx 0.6428 \):
\[
AH = 18.47 \cdot 0.6428 \approx 11.87 \text{ cm}
\]

Vậy, cạnh \( AC \approx 18.47 \) cm và đường cao \( AH \approx 11.87 \) cm.