Để giải phương trình \( x \cdot 38 + 564 = \frac{588}{x} \cdot 38 + 564 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Bỏ đi phần tử giống nhau ở cả hai bên**:
\[
x \cdot 38 + 564 - 564 = \frac{588}{x} \cdot 38 + 564 - 564
\]
Điều này cho ta:
\[
x \cdot 38 = \frac{588}{x} \cdot 38
\]

2. **Chia cả hai vế cho 38** (giả sử \( x \neq 0 \)):
\[
x = \frac{588}{x}
\]

3. **Nhân cả hai vế với \( x \)**:
\[
x^2 = 588
\]

4. **Giải phương trình bậc hai**:
\[
x = \sqrt{588} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{588}
\]

5. **Tinh giá trị của \( \sqrt{588} \)**:
\[
\sqrt{588} = \sqrt{4 \cdot 147} = 2\sqrt{147}
\]

Ta có thể phân tích tiếp \( \sqrt{147} \):
\[
\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}
\]

Do đó:
\[
\sqrt{588} = 2 \cdot 7\sqrt{3} = 14\sqrt{3}
\]

Cuối cùng, nghiệm của phương trình là:
\[
x = 14\sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -14\sqrt{3}
\]

Tóm lại, hai nghiệm của phương trình là \( x = 14\sqrt{3} \) và \( x = -14\sqrt{3} \).