Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách chi tiết.

### Bài 1: Tìm số nghiệm của phương trình \(\sin(3x) + \cos(2x) - \sin(x) = 0\) trên khoảng \((0; \pi)\)

Để giải phương trình này, ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho phương trình \(\sin(3x) + \cos(2x) - \sin(x) = 0\) thỏa mãn.

1. **Phân tích phương trình:**
\[
\sin(3x) + \cos(2x) - \sin(x) = 0
\]

2. **Biến đổi phương trình:**
Sử dụng các công thức lượng giác:
\[
\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)
\]
\[
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
\]
Thay vào phương trình:
\[
3\sin(x) - 4\sin^3(x) + 2\cos^2(x) - 1 - \sin(x) = 0
\]
\[
2\sin(x) - 4\sin^3(x) + 2\cos^2(x) - 1 = 0
\]
Sử dụng \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\):
\[
2\sin(x) - 4\sin^3(x) + 2(1 - \sin^2(x)) - 1 = 0
\]
\[
2\sin(x) - 4\sin^3(x) + 2 - 2\sin^2(x) - 1 = 0
\]
\[
2\sin(x) - 4\sin^3(x) - 2\sin^2(x) + 1 = 0
\]

3. **Giải phương trình:**
Phương trình này khá phức tạp để giải bằng tay, ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phần mềm để tìm nghiệm. Tuy nhiên, ta có thể kiểm tra một số giá trị đặc biệt của \(x\) trong khoảng \((0; \pi)\).

- Với \(x = \frac{\pi}{2}\):
\[
\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(\pi) - 1 = -1 - 1 - 1 = -3 \neq 0
\]

- Với \(x = \frac{\pi}{4}\):
\[
\sin(3 \cdot \frac{\pi}{4}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0
\]

Từ đó, ta thấy \(x = \frac{\pi}{4}\) là một nghiệm. Ta có thể tiếp tục kiểm tra các giá trị khác hoặc sử dụng phần mềm để tìm nghiệm chính xác.

### Bài 2: Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \(\sin(\pi \cos(2x)) = 1\)

1. **Phân tích phương trình:**
\[
\sin(\pi \cos(2x)) = 1
\]

2. **Điều kiện để \(\sin(\theta) = 1\):**
\[
\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

3. **Áp dụng điều kiện:**
\[
\pi \cos(2x) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
\cos(2x) = \frac{1}{2} + 2k
\]

Vì \(\cos(2x)\) nằm trong khoảng \([-1, 1]\), ta có:
\[
-1 \leq \frac{1}{2} + 2k \leq 1
\]
\[
-1 \leq \frac{1}{2} + 2k \leq 1
\]
\[
-\frac{3}{2} \leq 2k \leq \frac{1}{2}
\]
\[
-\frac{3}{4} \leq k \leq \frac{1}{4}
\]

Do \(k\) là số nguyên, nên \(k = 0\).

4. **Tìm nghiệm:**
\[
\cos(2x) = \frac{1}{2}
\]
\[
2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi \quad (n \in \mathbb{Z})
\]
\[
x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi \quad (n \in \mathbb{Z})
\]

Vì \(x\) nằm trong khoảng \((0; \pi)\), ta có các nghiệm:
\[
x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
\]

Vậy tập nghiệm \(S = \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right\}\).

### Bài 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để tập xác định của hàm số \(y = \frac{\sin(x)}{\cos(x) - m + 1}\) là khoảng \((-\infty; \infty)\)

1. **Điều kiện để hàm số xác định:**
\[
\cos(x) - m + 1 \neq 0
\]
\[
\cos(x) \neq m - 1
\]

2. **Phân tích điều kiện:**
Vì \(\cos(x)\) nằm trong khoảng \([-1, 1]\), ta có:
\[
-1 \leq \cos(x) \leq 1
\]

Để \(\cos(x) \neq m - 1\) với mọi \(x\), thì \(m - 1\) phải nằm ngoài khoảng \([-1, 1]\):
\[
m - 1 < -1 \quad \text{hoặc} \quad m - 1 > 1
\]
\[
m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > 2
\]

Vậy tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số xác định trên khoảng \((-\infty; \infty)\) là:
\[
m \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)
\]