Để biểu thức \( F \) xác định, ta cần tìm điều kiện để các biểu thức con trong \( F \) đều xác định.

Biểu thức \( F \) được cho như sau:
\[ F = \left( \frac{2\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) : \left( 1 - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} \right) \]

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định:

1. Điều kiện để các căn bậc hai xác định:
\[ x \geq 0 \]

2. Điều kiện để các mẫu số khác 0:
\[ x\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow x\sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1 \]
\[ \sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1 \]
\[ x + \sqrt{x} + 1 \neq 0 \Rightarrow x + \sqrt{x} \neq -1 \]
Vì \( x \geq 0 \) nên \( x + \sqrt{x} \geq 0 \). Do đó, điều kiện này luôn đúng.

Kết hợp các điều kiện trên, ta có:
\[ x \geq 0 \text{ và } x \neq 1 \]

b) Rút gọn biểu thức:

Ta rút gọn từng phần của biểu thức \( F \).

Phần đầu tiên:
\[ \frac{2\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \]

Ta quy đồng mẫu số:
\[ \frac{2\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(2\sqrt{x} + x)(\sqrt{x} - 1) - 1(x\sqrt{x} - 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)} \]

Phần thứ hai:
\[ 1 - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} \]

Ta quy đồng mẫu số:
\[ 1 - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{(x + \sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} + 2)}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{x + \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - 2}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{x - 1}{x + \sqrt{x} + 1} \]

Do đó, biểu thức \( F \) rút gọn là:
\[ F = \left( \frac{(2\sqrt{x} + x)(\sqrt{x} - 1) - (x\sqrt{x} - 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)} \right) : \left( \frac{x - 1}{x + \sqrt{x} + 1} \right) \]

c) Tính \( \sqrt{F} \) khi \( x = 5 + 2\sqrt{3} \):

Thay \( x = 5 + 2\sqrt{3} \) vào biểu thức đã rút gọn ở trên và tính toán để tìm giá trị của \( \sqrt{F} \).