Để giải các tam giác vuông tại A, chúng ta sẽ sử dụng các định lý lượng giác cơ bản như định lý sin, định lý cosin, và các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

### Trường hợp 1: BC = 20 cm, B = 30 độ
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Góc B = 30 độ, do đó góc C = 90 - 30 = 60 độ.

Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
- \( AB = BC \cdot \sin(B) = 20 \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot 0.5 = 10 \) cm
- \( AC = BC \cdot \cos(B) = 20 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \) cm

### Trường hợp 2: BC = 18 cm, B = 60 độ
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Góc B = 60 độ, do đó góc C = 90 - 60 = 30 độ.

Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
- \( AB = BC \cdot \sin(B) = 18 \cdot \sin(60^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) cm
- \( AC = BC \cdot \cos(B) = 18 \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot 0.5 = 9 \) cm

### Trường hợp 3: AB = 12 cm, C = 30 độ
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Góc C = 30 độ, do đó góc B = 90 - 30 = 60 độ.

Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
- \( BC = AB / \sin(C) = 12 / \sin(30^\circ) = 12 / 0.5 = 24 \) cm
- \( AC = AB / \tan(C) = 12 / \tan(30^\circ) = 12 / \frac{1}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \) cm

### Trường hợp 4: AC = 20 cm, B = 30 độ
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Góc B = 30 độ, do đó góc C = 90 - 30 = 60 độ.

Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
- \( BC = AC / \cos(B) = 20 / \cos(30^\circ) = 20 / \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3} \) cm
- \( AB = AC \cdot \tan(B) = 20 \cdot \tan(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) cm

### Trường hợp 5: AB = 4 cm, C = 45 độ
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Góc C = 45 độ, do đó góc B = 90 - 45 = 45 độ.

Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
- \( BC = AB / \sin(C) = 4 / \sin(45^\circ) = 4 / \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \) cm
- \( AC = AB \cdot \tan(C) = 4 \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4 \) cm

### Trường hợp 6: AB = 12 cm, BC = 20 cm
- Tam giác ABC vuông tại A.

Sử dụng định lý Pythagore:
- \( AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \) cm

Tóm lại, các kết quả là:
1. \( AB = 10 \) cm, \( AC = 10\sqrt{3} \) cm
2. \( AB = 9\sqrt{3} \) cm, \( AC = 9 \) cm
3. \( BC = 24 \) cm, \( AC = 12\sqrt{3} \) cm
4. \( BC = \frac{40\sqrt{3}}{3} \) cm, \( AB = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) cm
5. \( BC = 4\sqrt{2} \) cm, \( AC = 4 \) cm
6. \( AC = 16 \) cm