Để tính các góc và diện tích của tam giác ABC vuông tại A với cạnh AB = 10 cm và đường cao AH = 5 cm, ta tiến hành các bước sau:

1. **Tính độ dài các cạnh:**

- Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC
\]
Nhưng ta cũng biết rằng:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
Do đó:
\[
\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
\[
AB \times AC = BC \times AH
\]
\[
10 \times AC = BC \times 5
\]
\[
2 \times AC = BC
\]

- Tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pythagoras:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay \(BC = 2 \times AC\) vào phương trình trên:
\[
(2 \times AC)^2 = 10^2 + AC^2
\]
\[
4 \times AC^2 = 100 + AC^2
\]
\[
3 \times AC^2 = 100
\]
\[
AC^2 = \frac{100}{3}
\]
\[
AC = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77 \text{ cm}
\]

- Từ đó, ta có:
\[
BC = 2 \times AC = 2 \times \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11.55 \text{ cm}
\]

2. **Tính diện tích của tam giác ABC:**

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{100\sqrt{3}}{6} \approx 28.87 \text{ cm}^2
\]

3. **Tính các góc của tam giác ABC:**

- Góc \( \angle BAC = 90^\circ \) (do tam giác vuông tại A).

- Góc \( \angle ABC \):
\[
\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
\[
\angle ABC = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 30^\circ
\]

- Góc \( \angle ACB \):
\[
\angle ACB = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
\]

Tóm lại:
- Các góc của tam giác ABC là \( \angle BAC = 90^\circ \), \( \angle ABC = 30^\circ \), và \( \angle ACB = 60^\circ \).
- Diện tích của tam giác ABC là \( \frac{100\sqrt{3}}{6} \approx 28.87 \text{ cm}^2 \).