Để chứng minh rằng \(\frac{AB}{BC} = \frac{HE}{EC}\), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và đường phân giác.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Tia phân giác góc \(ABC\) cắt \(AC\) tại \(D\). Từ \(D\) hạ \(DE\) vuông góc với \(BC\).

1. **Tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông:**

Vì \(D\) là giao điểm của đường phân giác góc \(B\) với cạnh \(AC\), nên theo định lý đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]

2. **Tính chất của đường cao và đường phân giác:**

Xét tam giác \(ADE\) vuông tại \(E\), ta có:
\[
\frac{AD}{DE} = \frac{AE}{ED}
\]
Nhưng vì \(DE \perp BC\), nên \(DE\) là đoạn vuông góc từ \(D\) đến \(BC\).

3. **Tính chất của tam giác đồng dạng:**

Xét tam giác \(ADE\) và tam giác \(HEC\):
- \( \angle ADE = \angle HEC = 90^\circ \)
- \( \angle EAD = \angle EHC \) (vì \(DE \parallel HC\))

Do đó, hai tam giác \(ADE\) và \(HEC\) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AD}{DE} = \frac{HE}{EC}
\]

4. **Sử dụng tính chất đồng dạng và đường phân giác:**

Từ \(\frac{AD}{DE} = \frac{HE}{EC}\) và \(\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}\), ta có thể suy ra:
\[
\frac{HE}{EC} = \frac{AD}{DE} = \frac{AB}{BC}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{HE}{EC}
\]