Để rút gọn biểu thức \( A \), ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức ban đầu:
\[ A = \frac{\sqrt{a} + 1}{a\sqrt{a} + a + \sqrt{a}} : \frac{1}{a^2 - \sqrt{a}} \]

Đầu tiên, ta chuyển phép chia thành phép nhân với nghịch đảo của phân số thứ hai:
\[ A = \frac{\sqrt{a} + 1}{a\sqrt{a} + a + \sqrt{a}} \times \frac{a^2 - \sqrt{a}}{1} \]

Tiếp theo, ta nhân hai phân số:
\[ A = \frac{(\sqrt{a} + 1)(a^2 - \sqrt{a})}{a\sqrt{a} + a + \sqrt{a}} \]

Ta phân tích tử số:
\[ (\sqrt{a} + 1)(a^2 - \sqrt{a}) = \sqrt{a} \cdot a^2 - \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + 1 \cdot a^2 - 1 \cdot \sqrt{a} \]
\[ = a^{5/2} - a + a^2 - \sqrt{a} \]

Vậy biểu thức trở thành:
\[ A = \frac{a^{5/2} - a + a^2 - \sqrt{a}}{a\sqrt{a} + a + \sqrt{a}} \]

Để tiếp tục rút gọn, ta cần xem xét các yếu tố chung của tử số và mẫu số. Tuy nhiên, trong trường hợp này, không có yếu tố chung rõ ràng để tiếp tục rút gọn thêm. Do đó, biểu thức đã được rút gọn tối đa như trên.

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[ A = \frac{a^{5/2} - a + a^2 - \sqrt{a}}{a\sqrt{a} + a + \sqrt{a}} \]