Để tìm các giá trị nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn các phương trình đã cho, ta sẽ giải từng phương trình một.

### Phương trình 1: \((x - 2)(5y + 1) = 12\)

Ta phân tích 12 thành các cặp tích của các số nguyên:
- \(12 = 1 \times 12\)
- \(12 = (-1) \times (-12)\)
- \(12 = 2 \times 6\)
- \(12 = (-2) \times (-6)\)
- \(12 = 3 \times 4\)
- \(12 = (-3) \times (-4)\)
- \(12 = 4 \times 3\)
- \(12 = (-4) \times (-3)\)
- \(12 = 6 \times 2\)
- \(12 = (-6) \times (-2)\)
- \(12 = 12 \times 1\)
- \(12 = (-12) \times (-1)\)

Ta thử từng cặp giá trị này để tìm \(x\) và \(y\):

1. \(x - 2 = 1\) và \(5y + 1 = 12\)
- \(x = 3\)
- \(5y + 1 = 12 \Rightarrow 5y = 11 \Rightarrow y = \frac{11}{5}\) (không phải số nguyên)

2. \(x - 2 = -1\) và \(5y + 1 = -12\)
- \(x = 1\)
- \(5y + 1 = -12 \Rightarrow 5y = -13 \Rightarrow y = -\frac{13}{5}\) (không phải số nguyên)

3. \(x - 2 = 2\) và \(5y + 1 = 6\)
- \(x = 4\)
- \(5y + 1 = 6 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1\) (thỏa mãn)

4. \(x - 2 = -2\) và \(5y + 1 = -6\)
- \(x = 0\)
- \(5y + 1 = -6 \Rightarrow 5y = -7 \Rightarrow y = -\frac{7}{5}\) (không phải số nguyên)

5. \(x - 2 = 3\) và \(5y + 1 = 4\)
- \(x = 5\)
- \(5y + 1 = 4 \Rightarrow 5y = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{5}\) (không phải số nguyên)

6. \(x - 2 = -3\) và \(5y + 1 = -4\)
- \(x = -1\)
- \(5y + 1 = -4 \Rightarrow 5y = -5 \Rightarrow y = -1\) (thỏa mãn)

7. \(x - 2 = 4\) và \(5y + 1 = 3\)
- \(x = 6\)
- \(5y + 1 = 3 \Rightarrow 5y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{5}\) (không phải số nguyên)

8. \(x - 2 = -4\) và \(5y + 1 = -3\)
- \(x = -2\)
- \(5y + 1 = -3 \Rightarrow 5y = -4 \Rightarrow y = -\frac{4}{5}\) (không phải số nguyên)

9. \(x - 2 = 6\) và \(5y + 1 = 2\)
- \(x = 8\)
- \(5y + 1 = 2 \Rightarrow 5y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{5}\) (không phải số nguyên)

10. \(x - 2 = -6\) và \(5y + 1 = -2\)
- \(x = -4\)
- \(5y + 1 = -2 \Rightarrow 5y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{5}\) (không phải số nguyên)

11. \(x - 2 = 12\) và \(5y + 1 = 1\)
- \(x = 14\)
- \(5y + 1 = 1 \Rightarrow 5y = 0 \Rightarrow y = 0\) (thỏa mãn)

12. \(x - 2 = -12\) và \(5y + 1 = -1\)
- \(x = -10\)
- \(5y + 1 = -1 \Rightarrow 5y = -2 \Rightarrow y = -\frac{2}{5}\) (không phải số nguyên)

Vậy các cặp \((x, y)\) thỏa mãn phương trình 1 là:
- \((4, 1)\)
- \((-1, -1)\)
- \((14, 0)\)

### Phương trình 2: \((x + 1)(y - 3) = -5\)

Ta phân tích -5 thành các cặp tích của các số nguyên:
- \(-5 = 1 \times (-5)\)
- \(-5 = (-1) \times 5\)
- \(-5 = 5 \times (-1)\)
- \(-5 = (-5) \times 1\)

Ta thử từng cặp giá trị này để tìm \(x\) và \(y\):

1. \(x + 1 = 1\) và \(y - 3 = -5\)
- \(x = 0\)
- \(y - 3 = -5 \Rightarrow y = -2\) (thỏa mãn)

2. \(x + 1 = -1\) và \(y - 3 = 5\)
- \(x = -2\)
- \(y - 3 = 5 \Rightarrow y = 8\) (thỏa mãn)

3. \(x + 1 = 5\) và \(y - 3 = -1\)
- \(x = 4\)
- \(y - 3 = -1 \Rightarrow y = 2\) (thỏa mãn)

4. \(x + 1 = -5\) và \(y - 3 = 1\)
- \(x = -6\)
- \(y - 3 = 1 \Rightarrow y = 4\) (thỏa mãn)

Vậy các cặp \((x, y)\) thỏa mãn phương trình 2 là:
- \((0, -2)\)
- \((-2, 8)\)
- \((4, 2)\)
- \((-6, 4)\)

### Phương trình 3: \((2x - 1)(y + 4) = 6\)

Ta phân tích 6 thành các cặp tích của các số nguyên:
- \(6 = 1 \times 6\)
- \(6 = (-1) \times (-6)\)
- \(6 = 2 \times 3\)
- \(6 = (-2) \times (-3)\)
- \(6 = 3 \times 2\)
- \(6 = (-3) \times (-2)\)
- \(6 = 6 \times 1\)
- \(6 = (-6) \times (-1)\)

Ta thử từng cặp giá trị này để tìm \(x\) và \(y\):

1. \(2x - 1 = 1\) và \(y + 4 = 6\)
- \(2x = 2 \Rightarrow x = 1\)
- \(y + 4 = 6 \Rightarrow y = 2\) (thỏa mãn)

2. \(2x - 1 = -1\) và \(y + 4 = -6\)
- \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\)
- \(y + 4 = -6 \Rightarrow y = -10\) (thỏa mãn)

3. \(2x - 1 = 2\) và \(y + 4 = 3\)
- \(2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\) (không phải số nguyên)

4. \(2x - 1 = -2\) và \(y + 4 = -3\)
- \(2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\) (không phải số nguyên)

5. \(2x - 1 = 3\) và \(y + 4 = 2\)
- \(2x = 4 \Rightarrow x = 2\)
- \(y + 4 = 2 \Rightarrow y = -2\) (thỏa mãn)

6. \(2x - 1 = -3\) và \(y + 4 = -2\)
- \(2x = -2 \Rightarrow x = -1\)
- \(y + 4 = -2 \Rightarrow y = -6\) (thỏa mãn)

7. \(2x - 1 = 6\) và \(y + 4 = 1\)
- \(2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}\) (không phải số nguyên)

8. \(2x - 1 = -6\) và \(y + 4 = -1\)
- \(2x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}\) (không phải số nguyên)

Vậy các cặp \((x, y)\) thỏa mãn phương trình 3 là:
- \((1, 2)\)
- \((0, -10)\)
- \((2, -2)\)
- \((-1, -6)\)

### Phương trình 4: \((x - 4)(3y + 2) = 4\)

Ta phân tích 4 thành các cặp tích của các số nguyên:
- \(4 = 1 \times 4\)
- \(4 = (-1) \times (-4)\)
- \(4 = 2 \times 2\)
- \(4 = (-2) \times (-2)\)
- \(4 = 4 \times 1\)
- \(4 = (-4) \times (-1)\)

Ta thử từng cặp giá trị này để tìm \(x\) và \(y\):

1. \(x - 4 = 1\) và \(3y + 2 = 4\)
- \(x = 5\)
- \(3y + 2 = 4 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}\) (không phải số nguyên)

2. \(x - 4 = -1\) và \(3y + 2 = -4\)
- \(x = 3\)
- \(3y + 2 = -4 \Rightarrow 3y = -6 \Rightarrow y = -2\) (thỏa mãn)

3. \(x - 4 = 2\) và \(3y + 2 = 2\)
- \(x = 6\)
- \(3y + 2 = 2 \Rightarrow 3y = 0 \Rightarrow y = 0\) (thỏa mãn)

4. \(x - 4 = -2\) và \(3y + 2 = -2\)
- \(x = 2\)
- \(3y + 2 = -2 \Rightarrow 3y = -4 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}\) (không phải số nguyên)

5. \(x - 4 = 4\) và \(3y + 2 = 1\)
- \(x = 8\)
- \(3y + 2 = 1 \Rightarrow 3y = -1 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}\) (không phải số nguyên)

6. \(x - 4 = -4\) và \(3y + 2 = -1\)
- \(x = 0\)
- \(3y + 2 = -1 \Rightarrow 3y = -3 \Rightarrow y = -1\) (thỏa mãn)

Vậy các cặp \((x, y)\) thỏa mãn phương trình 4 là:
- \((3, -2)\)
- \((6, 0)\)
- \((0, -1)\)

### Phương trình 5: \((x + 3)(2y + 2) = 8\)

Ta phân tích 8 thành các cặp tích của các số nguyên:
- \(8 = 1 \times 8\)
- \(8 = (-1) \times (-8)\)
- \(8 = 2 \times 4\)
- \(8 = (-2) \times (-4)\)
- \(8 = 4 \times 2\)
- \(8 = (-4) \times (-2)\)
- \(8 = 8 \times 1\)
- \(8 = (-8) \times (-1)\)

Ta thử từng cặp giá trị này để tìm \(x\) và \(y\):

1. \(x + 3 = 1\) và \(2y + 2 = 8\)
- \(x = -2\)
- \(2y + 2 = 8 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3\) (thỏa mãn)

2. \(x + 3 = -1\) và \(2y + 2 = -8\)
- \(x = -4\)
- \(2y + 2 = -8 \Rightarrow 2y = -10 \Rightarrow y = -5\) (thỏa mãn)

3. \(x + 3 = 2\) và \(2y + 2 = 4\)
- \(x = -1\)
- \(2y + 2 = 4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1\) (thỏa mãn)

4. \(x + 3 = -2\) và \(2y + 2 = -4\)
- \(x = -5\)
- \(2y + 2 = -4 \Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3\) (thỏa mãn)

5. \(x + 3 = 4\) và \(2y + 2 = 2\)
- \(x = 1\)
- \(2y + 2 = 2 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0\) (thỏa mãn)

6. \(x + 3 = -4\) và \(2y + 2 = -2\)
- \(x = -7\)
- \(2y + 2 = -2 \Rightarrow 2y = -4 \Rightarrow y = -2\) (thỏa mãn)

7. \(x + 3 = 8\) và \(2y + 2 = 1\)
- \(x = 5\)
- \(2y + 2 = 1 \Rightarrow 2y = -1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}\) (không phải số nguyên)

8. \(x + 3 = -8\) và \(2y + 2 = -1\)
- \(x = -11\)
- \(2y + 2 = -1 \Rightarrow 2y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}\) (không phải số nguyên)

Vậy các cặp \((x, y)\) thỏa mãn phương trình 5 là:
- \((-2, 3)\)
- \((-4, -5)\)
- \((-1, 1)\)
- \((-5, -3)\)
- \((1, 0)\)
- \((-7, -2)\)

Tóm lại, các cặp \((x, y)\) thỏa mãn từng phương trình là:

1. \((4, 1)\), \((-1, -1)\), \((14, 0)\)
2. \((0, -2)\), \((-2, 8)\), \((4, 2)\), \((-6, 4)\)
3. \((1, 2)\), \((0, -10)\), \((2, -2)\), \((-1, -6)\)
4. \((3, -2)\), \((6, 0)\), \((0, -1)\)
5. \((-2, 3)\), \((-4, -5)\), \((-1, 1)\), \((-5, -3)\), \((1, 0)\), \((-7, -2)\)