Để giải phương trình \((9x^2 - 4)(x + 1) = (3x + 2)(x^2 - 1)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Mở rộng các biểu thức**:
- Mở rộng vế trái: \((9x^2 - 4)(x + 1)\)
- Mở rộng vế phải: \((3x + 2)(x^2 - 1)\)

2. **Mở rộng vế trái**:
\[
(9x^2 - 4)(x + 1) = 9x^2(x + 1) - 4(x + 1) = 9x^3 + 9x^2 - 4x - 4
\]

3. **Mở rộng vế phải**:
\[
(3x + 2)(x^2 - 1) = 3x(x^2 - 1) + 2(x^2 - 1) = 3x^3 - 3x + 2x^2 - 2
\]

4. **Đặt hai vế bằng nhau**:
\[
9x^3 + 9x^2 - 4x - 4 = 3x^3 - 3x + 2x^2 - 2
\]

5. **Chuyển tất cả các hạng tử về một vế**:
\[
9x^3 + 9x^2 - 4x - 4 - (3x^3 - 3x + 2x^2 - 2) = 0
\]
\[
9x^3 + 9x^2 - 4x - 4 - 3x^3 + 3x - 2x^2 + 2 = 0
\]
\[
(9x^3 - 3x^3) + (9x^2 - 2x^2) + (-4x + 3x) + (-4 + 2) = 0
\]
\[
6x^3 + 7x^2 - x - 2 = 0
\]

6. **Tìm nghiệm của phương trình bậc ba**:
Phương trình \(6x^3 + 7x^2 - x - 2 = 0\) là một phương trình bậc ba, và chúng ta có thể thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ bằng cách sử dụng định lý về nghiệm hữu tỉ. Các nghiệm hữu tỉ có thể là các ước của hệ số tự do (-2) chia cho các ước của hệ số cao nhất (6).

Các ước của -2: \(\pm 1, \pm 2\)
Các ước của 6: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)

Các nghiệm hữu tỉ có thể là: \(\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2\)

Thử nghiệm \(x = 1\):
\[
6(1)^3 + 7(1)^2 - 1 - 2 = 6 + 7 - 1 - 2 = 10 \neq 0
\]

Thử nghiệm \(x = -1\):
\[
6(-1)^3 + 7(-1)^2 - (-1) - 2 = -6 + 7 + 1 - 2 = 0
\]
Vậy \(x = -1\) là một nghiệm của phương trình.

7. **Chia đa thức để tìm các nghiệm còn lại**:
Chia \(6x^3 + 7x^2 - x - 2\) cho \(x + 1\) để tìm các nghiệm còn lại.

Sau khi chia, ta được:
\[
6x^3 + 7x^2 - x - 2 = (x + 1)(6x^2 + x - 2)
\]

8. **Giải phương trình bậc hai còn lại**:
\[
6x^2 + x - 2 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \(a = 6\), \(b = 1\), và \(c = -2\):
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2)}}{2 \cdot 6}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{12}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{12}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm 7}{12}
\]

Vậy ta có hai nghiệm:
\[
x = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
\]
\[
x = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}
\]

9. **Kết luận**:
Các nghiệm của phương trình là \(x = -1\), \(x = \frac{1}{2}\), và \(x = -\frac{2}{3}\).