Để phân số \( E = \frac{5x + 9}{x + 5} \) có giá trị là số nguyên, ta cần điều kiện tử số \( 5x + 9 \) chia hết cho mẫu số \( x + 5 \).

Gọi \( E = k \) là một số nguyên, ta có:
\[ \frac{5x + 9}{x + 5} = k \]

Điều này tương đương với:
\[ 5x + 9 = k(x + 5) \]

Giải phương trình này:
\[ 5x + 9 = kx + 5k \]
\[ 5x - kx = 5k - 9 \]
\[ x(5 - k) = 5k - 9 \]
\[ x = \frac{5k - 9}{5 - k} \]

Để \( x \) là số nguyên, thì \( \frac{5k - 9}{5 - k} \) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 5k - 9 \) phải chia hết cho \( 5 - k \).

Xét các giá trị của \( k \) sao cho \( 5 - k \) là ước của \( 5k - 9 \):

1. \( k = 1 \):
\[ x = \frac{5(1) - 9}{5 - 1} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
\( x = -1 \) là số nguyên.

2. \( k = 2 \):
\[ x = \frac{5(2) - 9}{5 - 2} = \frac{10 - 9}{3} = \frac{1}{3} \]
\( x = \frac{1}{3} \) không phải là số nguyên.

3. \( k = 3 \):
\[ x = \frac{5(3) - 9}{5 - 3} = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\( x = 3 \) là số nguyên.

4. \( k = 4 \):
\[ x = \frac{5(4) - 9}{5 - 4} = \frac{20 - 9}{1} = 11 \]
\( x = 11 \) là số nguyên.

5. \( k = 5 \):
\[ x = \frac{5(5) - 9}{5 - 5} \]
Mẫu số bằng 0, không xác định.

6. \( k = 6 \):
\[ x = \frac{5(6) - 9}{5 - 6} = \frac{30 - 9}{-1} = \frac{21}{-1} = -21 \]
\( x = -21 \) là số nguyên.

7. \( k = 7 \):
\[ x = \frac{5(7) - 9}{5 - 7} = \frac{35 - 9}{-2} = \frac{26}{-2} = -13 \]
\( x = -13 \) là số nguyên.

Tóm lại, các giá trị của \( x \) để phân số \( E = \frac{5x + 9}{x + 5} \) có giá trị là số nguyên là:
\[ x = -1, 3, 11, -21, -13 \]