Để tính tổng của dãy số \( \frac{1}{1} \times 6 + \frac{1}{6} \times 11 + \ldots + \frac{1}{26} \times 31 \), ta cần phân tích từng phần tử của dãy và tìm ra quy luật chung.

Quan sát các phần tử của dãy, ta thấy rằng mỗi phần tử có dạng \( \frac{1}{n} \times (5n + 1) \) với \( n \) chạy từ 1 đến 26. Cụ thể:

- Khi \( n = 1 \), ta có \( \frac{1}{1} \times (5 \times 1 + 1) = \frac{1}{1} \times 6 = 6 \).
- Khi \( n = 6 \), ta có \( \frac{1}{6} \times (5 \times 6 + 1) = \frac{1}{6} \times 31 = \frac{31}{6} \).
- Khi \( n = 26 \), ta có \( \frac{1}{26} \times (5 \times 26 + 1) = \frac{1}{26} \times 131 = \frac{131}{26} = 5.0385 \).

Tổng quát, phần tử thứ \( n \) của dãy là \( \frac{1}{n} \times (5n + 1) \).

Ta có thể viết lại phần tử thứ \( n \) như sau:
\[ \frac{1}{n} \times (5n + 1) = 5 + \frac{1}{n} \]

Do đó, tổng của dãy từ \( n = 1 \) đến \( n = 26 \) là:
\[ \sum_{n=1}^{26} \left( 5 + \frac{1}{n} \right) \]

Chia tổng này thành hai phần:
\[ \sum_{n=1}^{26} 5 + \sum_{n=1}^{26} \frac{1}{n} \]

Tổng thứ nhất là tổng của 26 số 5:
\[ \sum_{n=1}^{26} 5 = 5 \times 26 = 130 \]

Tổng thứ hai là tổng của các nghịch đảo của các số từ 1 đến 26, tức là tổng của dãy Harmonic:
\[ \sum_{n=1}^{26} \frac{1}{n} \]

Giá trị của tổng Harmonic này có thể được ước lượng bằng công thức:
\[ H_{26} \approx \ln(26) + \gamma \]
trong đó \( \gamma \) là hằng số Euler-Mascheroni, xấp xỉ 0.577.

Tuy nhiên, để có giá trị chính xác, ta cần tính tổng các nghịch đảo:
\[ H_{26} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{26} \]

Giá trị này xấp xỉ 3.518.

Do đó, tổng của dãy ban đầu là:
\[ 130 + 3.518 = 133.518 \]

Vậy, tổng của dãy \( \frac{1}{1} \times 6 + \frac{1}{6} \times 11 + \ldots + \frac{1}{26} \times 31 \) là xấp xỉ 133.518.