Để tính nhanh tổng của dãy số \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{20} \), ta có thể sử dụng một số phương pháp xấp xỉ hoặc công thức gần đúng.

Một cách xấp xỉ tổng của dãy số này là sử dụng công thức của tổng các số nghịch đảo của các số nguyên, được gọi là tổng của dãy số Harmonic. Tổng của dãy số Harmonic từ 1 đến \( n \) được xấp xỉ bởi:

\[ H_n \approx \ln(n) + \gamma \]

trong đó \( \gamma \) là hằng số Euler-Mascheroni, xấp xỉ bằng 0.577.

Tuy nhiên, vì chúng ta cần tổng từ \( \frac{1}{2} \) đến \( \frac{1}{20} \), ta cần điều chỉnh công thức một chút:

\[ \sum_{k=2}^{20} \frac{1}{k} \approx \ln(20) + \gamma - 1 \]

Bây giờ, ta tính giá trị này:

\[ \ln(20) \approx 2.9957 \]
\[ \gamma \approx 0.577 \]

Do đó:

\[ \sum_{k=2}^{20} \frac{1}{k} \approx 2.9957 + 0.577 - 1 \approx 2.5727 \]

Vậy tổng của dãy số \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{20} \) xấp xỉ bằng 2.5727.