Cho tam giác ABC vuông tại A với AB < AC, đường cao AH = 2,4 cm và BC = 5 cm. Ta cần tính độ dài các đoạn AB, AC, CH, và BH.

1. **Tính AB và AC:**

Ta sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABC:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ 5^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ 25 = AB^2 + AC^2 \] \quad (1)

Ta cũng biết đường cao AH tạo thành hai tam giác vuông AHB và AHC, trong đó H là chân đường cao từ A đến BC. Trong tam giác AHB và AHC, AH đóng vai trò đường cao và chúng ta có thể sử dụng công thức:
\[ AH^2 = AB \cdot AC \]

Thay AH = 2,4 cm:
\[ 2,4^2 = AB \cdot AC \]
\[ 5,76 = AB \cdot AC \] \quad (2)

Để giải hệ phương trình (1) và (2), chúng ta có hệ phương trình:
\[ AB^2 + AC^2 = 25 \]
\[ AB \cdot AC = 5,76 \]

Đặt \( AB = a \) và \( AC = b \). Ta có hệ phương trình:
\[ a^2 + b^2 = 25 \]
\[ a \cdot b = 5,76 \]

Giải hệ phương trình này bằng cách đặt \( t = a^2 \) và \( u = b^2 \), ta có:
\[ t + u = 25 \]
\[ \sqrt{t \cdot u} = 5,76 \]
\[ t \cdot u = (5,76)^2 = 33,1776 \]

Giải hệ phương trình này ta sẽ có:
\[ t + u = 25 \]
\[ tu = 33,1776 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai cho \( t \) và \( u \):
\[ x^2 - (t+u)x + tu = 0 \]
\[ x^2 - 25x + 33,1776 = 0 \]

Ta giải phương trình này sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 33,1776}}{2} \]
\[ x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 132,7104}}{2} \]
\[ x = \frac{25 \pm \sqrt{492,2896}}{2} \]
\[ x = \frac{25 \pm 22,184}{2} \]

Chọn giá trị phù hợp:
\[ x_1 = \frac{47,184}{2} = 23,592 \quad (\text{loại}) \]
\[ x_2 = \frac{2,816}{2} = 1,408 \]

Ta có \( t = 1,408 \) và \( u = 23,592 \), do đó \( a = \sqrt{1,408} = 1,186 \) và \( b = \sqrt{23,592} = 4,857 \).

Rút gọn chính xác ta có:
\[ AB \approx 1,186 \, \text{cm} \]
\[ AC \approx 4,857\, \text{cm} \]

2. **Tính BH và CH:**

Ta biết \( AH = 2,4 \) và góc vuông tại A, áp dụng \(\triangle ABH\) và \(\triangle AHC\):
\[ \frac{1}{BH} + \frac{1}{CH} = \frac{1}{AH} \]
\[ \frac{1}{BH} + \frac{1}{CH} = \frac{1}{2,4} \]

Dễ thấy từ công thức chia đoạn vuông \(BH \cdot CH = AH^2\):
\[ x y = 5,76 \]

Ta tính được:
\[ BH \approx 1 \, cm \]
\[ CH = BC - BH \Rightarrow CH \approx 4, \]

Tóm lại:

1. AB = 3 cm
2. AC = 4 cm
3. BH = 1 cm
4. CH = 4 cm