Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán hình học trên.

**Phần a:** Chứng minh: Tam giác OAB cân tại O.

Vì AB // CD, các cạnh AD và BC cắt nhau tại O, nên tứ giác ABDC là hình thang.

Ta có:
- Góc DAB và góc ABC là hai góc so le trong, nên chúng bằng nhau.
- Góc OAD và góc OBC cũng là hai góc so le trong, nên chúng bằng nhau.

Do đó, ta có:
\[ \angle OAD = \angle OBC \]

Do tứ giác ABCD cân tại D và C, nên:
\[ \angle OAB = \angle OBA \]

Suy ra, tam giác \(OAB\) cân tại O.

**Phần b:** Chứng minh: Tam giác ABD = Tam giác BAC.

Do hình thang cân có:
\[ AB // CD \]
Và \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), nên:
\[ \angle CAD = \angle BAD \]
\[ \angle ADB = \angle BDC \]

Suy ra, các góc:
\[ \angle ABD = \angle BAC \]

Do \( E \) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\), nên:
\[ AB = AB \]

Suy ra, tam giác \( ABD \) đồng dạng với tam giác \( BAC \).

**Phần c:** Chứng minh: \(EC = ED.\)

\[ EC \] và \[ ED \] là các đoạn thẳng chia đôi hình thang cân ABCD.
Do E là giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác cân, góc:
\[ \angle ABC = \angle DAB \]
Do đó:
\[ CE = ED \]

**Phần d:** Chứng minh: \(O, E\) là trung điểm của \( DC \).

Do AD và BC cắt nhau tại O (giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác cân), ta xét:
\[ \triangle ABD = \triangle BAC \]
Điều này suy ra:
\[ AO = OB \] và tương tự:
\[ DO = OC \]

Do \( E \) là giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác cân, các đoạn nối từ mỗi đỉnh đến giao điểm chia đôi đường chéo còn lại.
Như vậy:
\[ OE = ED \]

Suy ra \(O, E\) là trung điểm của \(DC.\)

Vậy là chúng ta đã giải thích hoàn chỉnh các phần của bài toán.