Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán dựa trên các giả định và thông tin đã cho.

### Phần a
Chứng minh \( M, P \) lần lượt là trung điểm của \( AB, AC \).

1. **Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( AB \):**

Gọi \( H \) là hình chiếu của \( N \) trên \( AB \). Vì \( N \) là trung điểm của \( BC \) (giả thiết), nên \( NH \) là trung tuyến của tam giác vuông \( ABC \).

Do đó, \( NH \) cũng là đường cao trong tam giác vuông này, và theo tính chất của tam giác vuông \( ABH \), ta có \( H \) là trung điểm của \( AB \).

Vì \( M \) là hình chiếu của \( N \) lên \( AB \), suy ra \( M \) chính là \( H \). Do đó, \( M \) là trung điểm của \( AB \).

2. **Chứng minh \( P \) là trung điểm của \( AC \):**

Gọi \( K \) là hình chiếu của \( N \) trên \( AC \). Với lập luận tương tự như trên, vì \( N \) là trung điểm của \( BC \), nên \( NK \) là trung tuyến của tam giác vuông \( ABC \), đồng thời cũng là đường cao của tam giác vuông \( ACB \), vậy \( K \) là trung điểm của \( AC \).

Vì \( P \) là hình chiếu của \( N \) lên \( AC \), suy ra \( P \) chính là \( K \). Do đó, \( P \) là trung điểm của \( AC \).

### Phần b
Chứng minh tứ giác \( ANCE \) là hình gì?

Xem xét tứ giác \( ANCE \):
- \( A \) là đỉnh của tam giác vuông \( ABC \),
- \( N \) là trung điểm của \( BC \),
- \( C \) là đỉnh của tam giác vuông \( ABC \),
- \( E \) là điểm sao cho \( P \) là trung điểm của \( NE \).

Chúng ta đã chứng minh được \( M \) và \( P \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( AC \). Vậy \( MNP \) là tam giác đều vì:
- \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \)
- \( P \) là trung điểm của cạnh \( AC \)
- \( N \) là trung điểm của cạnh \( BC \)

Do đó, nếu chúng ta lấy \( E \) sao cho \( P \) là trung điểm của \( NE \), thì tứ giác \( ANCE \) có:
- \( AN \)
- \( NP = PE \) (do \( P \) là trung điểm của \( NE \))
- Các góc tại \( A \) và \( C \) đều bằng \( 90^\circ \) (do \( ABC \) là tam giác vuông).

Từ đó suy ra \( ANCE \) là hình bình hành (vì đối diện nhau là các cạnh bằng nhau và các góc kề nhau bằng \( 90^\circ \)).

**Kết luận: Tứ giác \( ANCE \) là hình bình hành.**