Để tính giá trị của \( A = \sum_{n=1}^{199} \frac{1}{n(n+1)} \), ta sử dụng phân tích phân số để đơn giản hóa từng biểu thức trong tổng.

Ta có thể viết:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Áp dụng công thức này, ta có thể viết lại tổng \( A \) như sau:

\[
A = \sum_{n=1}^{199} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
\]

Khi tính tổng này, chúng ta nhận thấy rằng đây là một tổng song phương, và hầu hết các phần tử sẽ bị triệt tiêu. Cụ thể, khi mở rộng tổng, ta có:

\[
A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{199} - \frac{1}{200} \right)
\]

Khi cộng tất cả lại, các phần tử từ \( \frac{1}{2} \) đến \( \frac{1}{199} \) sẽ triệt tiêu với nhau. Chúng ta còn lại:

\[
A = 1 - \frac{1}{200}
\]

Tính giá trị cuối cùng:

\[
A = 1 - 0.005 = 0.995
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
A = 0.995
\]