Để chứng minh các bất đẳng thức này, chúng ta sử dụng một số phương pháp, trong đó có bất đẳng thức dọc theo các đoạn thẳng và dạng hình học.

### a) Chứng minh \( IA + IB + IC + ID > \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA) \)

**Bước 1: Chia tứ giác thành các tam giác.**

- Xét tứ giác \( ABCD \) và điểm \( I \) nằm trong tứ giác đó.
- Chia tứ giác thành các tam giác \( \triangle AIB \), \( \triangle BIC \), \( \triangle CID \), và \( \triangle DIA \).

**Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức tam giác.**

- Với mỗi tam giác, áp dụng bất đẳng thức tam giác:

\[
IA + IB > AB
\]
\[
IB + IC > BC
\]
\[
IC + ID > CD
\]
\[
ID + IA > DA
\]

**Bước 3: Cộng tất cả các bất đẳng thức.**

- Cộng các bất đẳng thức trên, ta có:

\[
(IA + IB) + (IB + IC) + (IC + ID) + (ID + IA) > AB + BC + CD + DA
\]

- Sắp xếp lại, ta có:

\[
2(IA + IB + IC + ID) > AB + BC + CD + DA
\]

- Chia đều cả hai vế cho 2:

\[
IA + IB + IC + ID > \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)
\]

### b) Chứng minh \( IA + IB + IC + ID \geq AC + BD \)

**Bước 1: Xem xét các tam giác \( \triangle AIC \) và \( \triangle BID \).**

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho các đường chéo, ta có:

\[
IA + IC \geq AC
\]
\[
IB + ID \geq BD
\]

**Bước 2: Cộng các bất đẳng thức.**

- Cộng hai bất đẳng thức trên, ta có:

\[
(IA + IC) + (IB + ID) \geq AC + BD
\]

- Sắp xếp lại, ta có:

\[
IA + IB + IC + ID \geq AC + BD
\]

### Dấu bằng xảy ra khi nào?

- Dấu bằng xảy ra trong trường hợp \( I \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) của tứ giác \( ABCD \) và các tam giác \( AIC \) và \( BID \) là cân.

Như vậy, ta đã chứng minh xong hai bất đẳng thức yêu cầu.