Để giải bài toán về tam giác vuông ABC tại A với các thông tin đã cho:

### a) Tìm AC, AH, BH, HC:

1. **AC**: Sử dụng định lý Pytago:
- Ta có \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \).
- Biết rằng \( AB = 15 \) cm. Để tính \( BC \), ta sử dụng công thức diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AH
\]
Diện tích cũng có thể được tính bằng:
\[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BH
\]
- Kết hợp hai phương trình trên:
\[
\frac{1}{2} \times 15 \times 15 = \frac{1}{2} \times AC \times 9
\]
- Giải phương trình để tìm \( AC \):
\[
15 \times 15 = AC \times 9 \implies AC = \frac{225}{9} = 25 \text{ cm}
\]

2. **AH**: Giá trị đã cho là 15 cm.

3. **BH**: Giá trị đã cho là 9 cm.

4. **HC**:
- Ta có:
\[
BC = BH + HC \Rightarrow HC = BC - BH
\]
- Tính \( BC \) bằng định lý Pytago:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 25^2} = \sqrt{225 + 625} = \sqrt{850} = 5\sqrt{34}
\]
- Tìm \( HC \):
\[
HC = BC - BH = 5\sqrt{34} - 9
\]

### b) Tìm số đo góc B và C:

- Sử dụng định nghĩa liên quan đến sin, cos, và tangent:

1. **Góc B**:
\[
\tan B = \frac{AH}{AB} = \frac{15}{15} = 1 \Rightarrow B = 45^\circ
\]

2. **Góc C**:
- Vì tổng ba góc trong tam giác bằng 180 độ, suy ra:
\[
C = 90^\circ - B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ
\]

### Kết luận:
- **AC = 25 cm**
- **AH = 15 cm**
- **BH = 9 cm**
- **HC = 5\sqrt{34} - 9**
- **Góc B = 45^\circ**
- **Góc C = 45^\circ**