Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = 3x^2 + y^2 biết 2x-y=2

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( H = 3x^2 + y^2 \) với điều kiện \( 2x - y = 2 \), trước tiên chúng ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \) từ điều kiện đó:

\[
y = 2x - 2
\]

Thay biểu thức \( y \) vào \( H \):

\[
H = 3x^2 + (2x - 2)^2
\]

Mở rộng biểu thức \( (2x - 2)^2 \):

\[
(2x - 2)^2 = 4x^2 - 8x + 4
\]

Vậy, ta có:

\[
H = 3x^2 + 4x^2 - 8x + 4 = 7x^2 - 8x + 4
\]

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc 2 \( H = 7x^2 - 8x + 4 \). Để làm điều này, ta tìm đỉnh của parabol. Công thức tìm tọa độ đỉnh \( x \) của một hàm bậc 2 \( ax^2 + bx + c \) là:

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

Trong trường hợp của chúng ta, \( a = 7 \), \( b = -8 \), do đó:

\[
x = -\frac{-8}{2 \cdot 7} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}
\]

Bây giờ, ta thay giá trị \( x = \frac{4}{7} \) vào biểu thức \( H \) để tìm giá trị nhỏ nhất:

\[
H = 7\left(\frac{4}{7}\right)^2 - 8\left(\frac{4}{7}\right) + 4
\]

Tính từng phần:

\[
H = 7 \cdot \frac{16}{49} - \frac{32}{7} + 4
\]

\[
H = \frac{112}{49} - \frac{32 \cdot 7}{49} + \frac{196}{49}
\]

\[
H = \frac{112 - 224 + 196}{49} = \frac{84}{49} = \frac{12}{7}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( H = 3x^2 + y^2 \) dưới điều kiện \( 2x - y = 2 \) là:

\[
\boxed{\frac{12}{7}}
\]