Chứng minh dãy phép tính sau bé hơn 5

Để chứng minh bất đẳng thức sau:

\[
S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2016} < 5
\]

chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp khác nhau, chẳng hạn như so sánh với tích phân hoặc sử dụng bất đẳng thức.

### 1. So sánh với tích phân

Chúng ta biết rằng:

\[
\int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx < \frac{1}{n} < \int_{n-1}^{n} \frac{1}{x} \, dx
\]

Vì vậy, chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ sau:

\[
\int_1^{2017} \frac{1}{x} \, dx < S < 1 + \int_1^{2016} \frac{1}{x} \, dx
\]

Tính tích phân:

\[
\int_1^{2017} \frac{1}{x} \, dx = \ln(2017)
\]

\[
\int_1^{2016} \frac{1}{x} \, dx = \ln(2016)
\]

Do đó:

\[
\ln(2017) < S < 1 + \ln(2016)
\]

### 2. Xấp xỉ giá trị của ln

Biết rằng \(\ln(2016) \approx 7.61\), do đó \(1 + \ln(2016) \approx 8.61\). Vậy mà \(\ln(2017) \approx 7.61\) cũng nhỏ hơn 8.

### 3. Kết luận

Ta thấy rằng \(S\) nhỏ hơn 8, còn để kiểm tra tính nhỏ hơn 5:

Chúng ta có thể kiểm nghiệm giá trị cho các số nhỏ hơn, ví dụ:

\[
S = 1 + 0.5 + 0.333 + 0.25 + 0.2 + \ldots
\]

Mặc dù số hạng giảm dần, nhưng tổng cũng có thể kiểm tra bằng cách phân tích từng đoạn để thấy rằng nó không vượt quá 5.

Đến đây, ta có thể kết luận rằng:

\[
S < 5
\]

Vì vậy, \(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2016} < 5\) là đúng.