Để tìm tập xác định (đoạn xác định) của các hàm số, ta sẽ phân tích từng hàm theo từng trường hợp:

**a)** \( y = \frac{\cos 2x}{x - 1} \)

- Hàm sẽ xác định khi mẫu \( x - 1 \neq 0 \).
- Vậy \( x \neq 1 \).
- Tập xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

---

**b)** \( y = \frac{1}{\cos x - \cos 3x} \)

- Hàm sẽ xác định khi mẫu \( \cos x - \cos 3x \neq 0 \).
- Giải phương trình \( \cos x - \cos 3x = 0 \), ta có:
\[
\cos x = \cos 3x \implies x = \frac{(2k + 1)\pi}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}).
\]
- Tập xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{ x \mid \cos x = \cos 3x \} \).

---

**c)** \( y = \frac{1}{\cos x + \sin 2x} \)

- Hàm sẽ xác định khi mẫu \( \cos x + \sin 2x \neq 0 \).
- Tìm đồ thị hàm \( \cos x + \sin 2x = 0 \):
\[
\sin 2x = -\cos x.
\]
- Tập xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{ x \mid \cos x + \sin 2x = 0 \} \).

---

**d)** \( y = \tan x + \cot x \)

- Hàm sẽ xác định khi cả \( \tan x \) và \( \cot x \) xác định.
- \( \tan x \) không xác định tại \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) và \( \cot x \) không xác định tại \( x = k\pi \).
- Tập xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in \mathbb{Z} \} \).

---

Tóm lại:

1. \( \text{Tập xác định a: } \mathbb{R} \setminus \{1\} \)
2. \( \text{Tập xác định b: } \mathbb{R} \setminus \{x: \cos x = \cos 3x\} \)
3. \( \text{Tập xác định c: } \mathbb{R} \setminus \{x: \cos x + \sin 2x = 0\} \)
4. \( \text{Tập xác định d: } \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k\in \mathbb{Z}\} \)