X+y+1/x+1/y là lũy thừa của 2 tìm các số hữu tỷ dương

Để giải bài toán, chúng ta cần chứng minh rằng biểu thức \( x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) là lũy thừa của 2 với các số hữu tỷ dương \( x \) và \( y \).

Trước tiên, chúng ta có thể viết lại biểu thức này như sau:

\[
x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = x + y + \frac{y + x}{xy} = x + y + \frac{x + y}{xy} = (x + y) + \frac{x + y}{xy}
\]

Gọi \( s = x + y \). Thay vào, ta có:

\[
x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = s + \frac{s}{xy} = s \left( 1 + \frac{1}{xy} \right)
\]

Khi đó, biểu thức có thể viết thành \( s \cdot \left( \frac{xy + 1}{xy} \right) \).

Để biểu thức này là lũy thừa của 2, cả \( s \) và \( \left( \frac{xy + 1}{xy} \right) \) phải là lũy thừa của 2.

1. **Tìm giá trị dương của \( x \) và \( y \)**:
- Giả sử \( x \) và \( y \) là hai số hữu tỷ dương. Ta có thể lựa chọn \( x = 1 \) và \( y = 1 \):
\[
1 + 1 + 1 + 1 = 4 \quad (4 = 2^2)
\]
- Ta cũng có thể thử với \( x = 2 \) và \( y = 2 \):
\[
2 + 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 4 + 1 = 5 \quad (5 \text{ không phải là lũy thừa của } 2)
\]
- Nếu thử với các số khác như \( x = 1/2, y = 1/2 \):
\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 + 2 = 1 + 4 = 5 \quad (5 \text{ không phải là lũy thừa của } 2)
\]
- Thử với các cặp số khác nhau cũng có thể đưa ra nhiều kết quả không phù hợp cho đến khi tìm được cặp hợp lý hơn.

2. **Xem xét tổng quát hơn**:
- Để đảm bảo mọi lựa chọn, ta có thể lập luận rằng nếu \( x = k \) và \( y = k \) cho một số nguyên dương \( k \), ta sẽ trở lại dạng giống ban đầu:
\[
k + k + \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = 2k + \frac{2}{k}
\]
Điều này có nghĩa rằng \( 2k + \frac{2}{k} \) cần phải là lũy thừa của 2.

Tóm lại, có một số cách để kiểm tra và thử nghiệm lựa chọn \( x \) và \( y \) sao cho biểu thức trên là lũy thừa của 2. Việc giải bài toán này rất có thể yêu cầu phải thử nhiều cặp số hữu tỷ dương khác nhau hoặc cấu trúc lại thông qua bình phương, tìm kiếm số đối xứng hoặc các phương pháp đại số.

**Kết luận**: Một cặp số hữu tỷ dương mà ta đã tìm được là \( x = 1 \) và \( y = 1 \) cho ra giá trị là một lũy thừa của 2.