Để giải bài toán này, ta cần bắt đầu từ các thông tin đã cho:

**a)** Để chứng minh tứ giác \( AEDF \) là hình bình hành, ta sử dụng định nghĩa và tính chất của hình bình hành. Tứ giác \( AEDF \) sẽ là hình bình hành nếu như:

- \( AE \parallel DF \) và \( AD \parallel EF \)

Theo điều kiện bài toán, ta đã biết rằng:
- \( DE \parallel BA \)
- \( DF \parallel CA \)

Vì \( DE \) và \( DF \) đều lần lượt song song với các cạnh của tam giác, ta có thể chứng minh rằng \( AE \parallel DF \) và \( AD \parallel EF \) bằng cách chỉ ra rằng \( DE = EF \) và \( AD = AE \) thông qua các đoạn thẳng và các góc vuông trong tam giác.

**b)** Để chứng minh tứ giác \( BDEP \) là hình bình hành? Ta có thể sử dụng các cặp cạnh đối và các góc bằng nhau. Cụ thể:
- \( BD \parallel EP \) và \( BE \parallel DP \) (nếu BC là đường chéo).
- Các đoạn thẳng mà chúng ta có thể chỉ ra có mối liên hệ song song hoặc bằng nhau.

**Hình thoi:**
- Hình thoi là tứ giác có tất cả bốn cạnh bằng nhau. Nếu các cạnh \( BE, BD, DP, EP \) đều bằng nhau, ta có một hình thoi.

**c)** Để tìm điều kiện của tam giác \( ABC \) để tứ giác \( BEDF \) là hình chữ nhật, ta cần các góc tại các đỉnh của \( BEDF \) thỏa mãn điều kiện của hình chữ nhật (các góc vuông).

Tóm lại:
- Để chứng minh tứ giác là hình bình hành/hình chữ nhật/hình thoi, sử dụng các tính chất của hình học và mối quan hệ giữa các cạnh, góc song song,... là rất quan trọng trong bài toán này.