Để phân tích đa thức \( a^7 + a^5 - 1 \) thành nhân tử, ta có thể nhóm và tìm cách biến đổi biểu thức này.

Bắt đầu từ biểu thức:

\[
a^7 + a^5 - 1
\]

Ta có thể thấy rằng \( a^5 \) là yếu tố chung trong hai hạng tử đầu. Ta có thể viết lại như sau:

\[
= a^5 (a^2 + 1) - 1
\]

Giờ, ta sẽ xem xét biểu thức \( a^5 (a^2 + 1) - 1 \). Dễ nhận thấy rằng để phân tích tiếp, ta có thể sử dụng hằng đẳng thức:

\[
x^2 - 1 = (x-1)(x+1)
\]

Nhưng biểu thức không hoàn toàn giống dạng trên, vì vậy ta cần sử dụng một cách khác để phân tích thêm.

Chúng ta thử nhóm lại và thay đổi cách biểu diễn:

\[
= (a^5)(a^2 + 1) - 1
\]

Gọi \( x = a^5 \), thì ta có:

\[
= x (a^2 + 1) - 1
\]

Biểu thức này không cho phép ta đơn giản hóa hơn nữa bằng các yếu tố bậc thấp. Do đó, có vẻ rằng không có cách nào phân tích thêm cho đến khi ta tìm thấy các yếu tố riêng biệt của các biến.

Tuy nhiên, do đây là một bài tập điển hình, chúng ta cũng kiểm tra các phương pháp khác hoặc chứng minh rằng bất kỳ yếu tố nào không thể tìm được. Đối với nhiều trường hợp đặc biệt, ta có thể phát hiện ra rằng không thể phân tích thành nhân tử ra ngoài dạng nguyên thủy mà không dùng đến các số phức.

Kết luận, đa thức \( a^7 + a^5 - 1 \) có dạng tối giản nhất của nó mà không có phân tích rõ ràng thành các nhân tử cơ bản.