Để tính các giá trị lượng giác theo đề bài đã trình bày, ta có thể tuần tự thực hiện từng phần.

### Phần a:
Cho \( \sin a = \frac{12}{13} \), tìm các giá trị sau:

1. **Tính \( \cos a \)**:
\[
\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \implies \cos a = \frac{5}{13}
\]

2. **Tính \( \cos\left(\frac{\pi}{3} - a\right) \)**:
\[
\cos\left(\frac{\pi}{3} - a\right) = \cos\frac{\pi}{3} \cos a + \sin\frac{\pi}{3} \sin a = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{13} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{12}{13} = \frac{5}{26} + \frac{12\sqrt{3}}{26} = \frac{5 + 12\sqrt{3}}{26}
\]

3. **Tính \( \sin\left(a + \frac{\pi}{6}\right) \)**:
\[
\sin\left(a + \frac{\pi}{6}\right) = \sin a \cos\frac{\pi}{6} + \cos a \sin\frac{\pi}{6} = \frac{12}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{13} \cdot \frac{1}{2} = \frac{12\sqrt{3} + 5}{26}
\]

4. **Tính \( \tan\left(a - \frac{\pi}{4}\right) \)**:
\[
\tan\left(a - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan a - 1}{1 + \tan a}
\]
Trong đó \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5} \):
\[
\tan\left(a - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{12}{5} - 1}{1 + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{12}{5} - \frac{5}{5}}{1 + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{5}} = \frac{7}{17}
\]

5. **Tính \( \cot(2\pi/3 + a) \)**:
\[
\cot(2\pi/3 + a) = -\tan\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\tan a + \tan \frac{\pi}{3}}{1 - \tan a \tan \frac{\pi}{3}} = -\frac{\frac{12}{5} + \sqrt{3}}{1 - \frac{12}{5}\sqrt{3}}
\]

### Phần b:
Cho \( \tan a = -3 \), \( -\frac{\pi}{2} < a < 0 \), các giá trị cần tính:

1. **Tính \( \cos(2\pi/3 + a) \)**:
Tương tự như trên, ta có:
\[
\tan a = -3 \implies \sin a = \frac{-3}{\sqrt{10}}, \cos a = \frac{1}{\sqrt{10}}
\]

2. **Tính \( \sin\left(a - \frac{\pi}{4}\right) \)**:
\[
\sin\left(a - \frac{\pi}{4}\right) = \sin a \cos\frac{\pi}{4} - \cos a \sin\frac{\pi}{4} = \frac{-3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \frac{-4\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}
\]

3. **Tính \( \tan(a + \frac{\pi}{4}) \)**:
\[
\tan(a + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan a + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan a \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{-3 + 1}{1 + 3} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

4. **Tính \( \cot(2\pi/3 - a) \)**:
Sử dụng công thức:
\[
\cot(2\pi/3 - a) = -\tan\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\tan a + \tan\frac{\pi}{3}}{1 - \tan a \tan\frac{\pi}{3}} = -\frac{-3 + \sqrt{3}}{1 + 3\sqrt{3}}
\]

Tóm lại, đây là cách tiến hành để tính các giá trị lượng giác trong các phần đã cho. Nếu cần, bạn có thể thực hiện thêm các phép toán để có kết quả cụ thể cho từng giá trị.