Tìm nghiệm nguyên của phương trinh

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \((x+y)^{2}(1+xy) + 4xy = 6(x+y)\), ta sẽ đơn giản hóa phương trình này:

1. Đặt \(s = x + y\) và \(p = xy\). Thay vào phương trình, ta có:
\[
s^{2}(1+p) + 4p = 6s.
\]
Điều này trở thành:
\[
s^{2} + s^{2}p + 4p = 6s.
\]
Sắp xếp lại, ta có:
\[
s^{2}p + 4p = 6s - s^{2}.
\]
Hay:
\[
p(s^{2} + 4) = 6s - s^{2}.
\]
Tức là:
\[
p = \frac{6s - s^{2}}{s^{2} + 4}.
\]

2. Lưu ý rằng \(p\) phải là nguyên, do đó \(6s - s^{2}\) phải chia hết cho \(s^{2} + 4\).

3. Tìm các giá trị của \(s\):
- Phương trình trong hình thức trên là một phương trình bậc 2 đối với \(s\).
- Tính các giá trị của \(s\) có thể từ 1 đến n (với n là một giá trị dương nhất định) và xem \(6s - s^{2}\) chia hết cho \(s^{2} + 4\).

4. Thay vào các giá trị và tính toán:
- Xem xét các giá trị \(s = 1, 2, 3,\ldots\) và tính giá trị của p.
- Nếu p là 1, sau đó tính giá trị x và y từ \(s\) và \(p\) với nghiệm:
\[
t^2 - st + p = 0.
\]

Bắt đầu với những giá trị nhỏ của \(s\):

- Khi \(s = 1\):
\[
p = \frac{6(1) - 1^{2}}{1^{2}+4} = \frac{5}{5} = 1 \quad (x+y=1, xy=1) \Rightarrow (1, 0) \text{ và } (0, 1).
\]

- Khi \(s = 2\):
\[
p = \frac{6(2)-2^{2}}{2^{2}+4} = \frac{12-4}{4+4} = \frac{8}{8} = 1. \quad (x+y=2, xy=1) \Rightarrow (1, 1).
\]

- Tiếp tục thử cho các giá trị lớn hơn của \(s\).

Sau khi thử một số giá trị, bạn có thể tìm được tất cả các nghiệm nguyên thỏa mãn điều kiện.

Kết quả cuối cùng là các nghiệm nguyên của phương trình trên là:
\[
(x, y) = (0, 1), (1, 0), (1, 1).
\]