Để tìm m để hệ phương trình:

1) \( x + y = m^2 + 2 \)
2) \( 3x + 5y = 2m^2 \)

có nghiệm duy nhất với điều kiện \( x + y \neq 0 \), ta có thể làm như sau:

**Bước 1: Thay thế từ phương trình 1 vào phương trình 2.**

Từ phương trình 1, ta có:
\[ y = m^2 + 2 - x \]

**Bước 2: Thay \( y \) vào phương trình 2.**

Thay \( y \) vào phương trình 2:
\[
3x + 5(m^2 + 2 - x) = 2m^2
\]
\[
3x + 5m^2 + 10 - 5x = 2m^2
\]
\[
-2x + 5m^2 + 10 = 2m^2
\]
\[
-2x = 2m^2 - 5m^2 - 10
\]
\[
-2x = -3m^2 - 10
\]
\[
x = \frac{3m^2 + 10}{2}
\]

**Bước 3: Tính \( y \)**

Thay giá trị của \( x \) vào \( y = m^2 + 2 - x \):
\[
y = m^2 + 2 - \frac{3m^2 + 10}{2}
\]
\[
= \frac{2m^2 + 4 - (3m^2 + 10)}{2}
\]
\[
= \frac{-m^2 - 6}{2}
\]

**Bước 4: Kiểm tra điều kiện.**

Hệ có nghiệm duy nhất khi định thức của hệ phương trình khác 0.
Tính định thức:

\[
D = a \cdot d - b \cdot c = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 3 - 5 = -2 \neq 0
\]

Do đó, hệ phương trình này có nghiệm duy nhất cho mọi giá trị của \( m \).

**Kiểm tra điều kiện \( x + y \neq 0 \)**:
\[
x + y = \frac{3m^2 + 10}{2} + \frac{-m^2 - 6}{2} = \frac{2m^2 + 4}{2} = m^2 + 2
\]

Để \( m^2 + 2 \neq 0 \), điều này luôn đúng vì \( m^2 \geq 0 \).

Vậy có nghiệm duy nhất cho mọi giá trị của \( m \).