Để giải phương trình \( y(x - 1) = x^2 + 2 \), ta sẽ chuyển đổi lại phương trình và tìm số nghiệm nguyên cho \( x \) và \( y \).

Bắt đầu bằng cách viết lại phương trình:

\[
y(x - 1) = x^2 + 2 \implies y = \frac{x^2 + 2}{x - 1}
\]

Phương trình này có nghĩa là \( y \) phải là một số nguyên. Để điều này xảy ra, mẫu số \( x - 1 \) phải chia hết cho tử số \( x^2 + 2 \).

Chúng ta cần tìm điều kiện cho \( \frac{x^2 + 2}{x - 1} \) là số nguyên. Đặt \( k = x - 1 \), từ đó có \( x = k + 1 \). Ta thay vào phương trình:

\[
y = \frac{(k + 1)^2 + 2}{k} = \frac{k^2 + 2k + 1 + 2}{k} = k + 2 + \frac{3}{k}
\]

Để \( y \) là số nguyên, \(\frac{3}{k}\) cũng phải là số nguyên, nghĩa là \( k \) phải là một trong các ước của 3.

Các ước của 3 là: \( \pm 1, \pm 3 \):
1. Nếu \( k = 1 \): \( y = 1 + 2 + 3 = 6 \)
2. Nếu \( k = -1 \): \( y = -1 + 2 - 3 = -2 \)
3. Nếu \( k = 3 \): \( y = 3 + 2 + 1 = 6 \)
4. Nếu \( k = -3 \): \( y = -3 + 2 - 1 = -2 \)

Vậy các giá trị của \( k \) (tương ứng với \( x \)) là \( 0, 2, 4, -2 \).

Tóm lại, giá trị của \( x \) tương ứng với các \( k \) này là:
- \( k = 1 \Rightarrow x = 2 \)
- \( k = -1 \Rightarrow x = 0 \)
- \( k = 3 \Rightarrow x = 4 \)
- \( k = -3 \Rightarrow x = -2 \)

Vậy phương trình có tất cả 4 nghiệm nguyên cho \( (x, y) \).

**Kết luận:** Phương trình có 4 nghiệm nguyên.