Để chứng minh rằng \( 7^6 + 7^5 - 7^4 \) chia hết cho 55, ta cần chứng minh rằng nó chia hết cho cả 5 và 11 (vì \( 55 = 5 \times 11 \)).

**1. Chia hết cho 5:**

Ta tính \( 7 \mod 5 \):
\[
7 \equiv 2 \mod 5
\]
Từ đó, ta có:
\[
7^6 \equiv 2^6 \equiv 64 \equiv 4 \mod 5
\]
\[
7^5 \equiv 2^5 \equiv 32 \equiv 2 \mod 5
\]
\[
7^4 \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1 \mod 5
\]

Thay vào biểu thức:
\[
7^6 + 7^5 - 7^4 \equiv 4 + 2 - 1 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5
\]

**2. Chia hết cho 11:**

Ta tính \( 7 \mod 11 \):
\[
7 \equiv 7 \mod 11
\]
Từ đó, ta có:
\[
7^6 \equiv 7^6 \mod 11
\]
\[
7^5 \equiv 7^5 \mod 11
\]
\[
7^4 \equiv 7^4 \mod 11
\]

Để tính giá trị, ta có thể dùng định lý số dư:
\[
7^2 \equiv 49 \equiv 5 \mod 11
\]
\[
7^4 \equiv 5^2 \equiv 25 \equiv 3 \mod 11
\]
\[
7^5 \equiv 7 \times 7^4 \equiv 7 \times 3 \equiv 21 \equiv 10 \mod 11
\]
\[
7^6 \equiv 7 \times 7^5 \equiv 7 \times 10 \equiv 70 \equiv 4 \mod 11
\]

Thay vào biểu thức:
\[
7^6 + 7^5 - 7^4 \equiv 4 + 10 - 3 \equiv 11 \equiv 0 \mod 11
\]

**Kết luận:**
Vì \( 7^6 + 7^5 - 7^4 \) chia hết cho cả 5 và 11, nên nó chia hết cho 55.