Cho hình vuông ABCD có diễn tích là 90cm^2. Lấy điểm M là trung điểm của AC

a) Để tính diện tích tam giác ABM, trước tiên ta cần biết độ dài cạnh của hình vuông ABCD. Diện tích của hình vuông được tính bằng công thức:

\[
S = a^2
\]

Trong đó \( S \) là diện tích và \( a \) là độ dài cạnh. Từ đề bài, ta có:

\[
a^2 = 90 \implies a = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \text{ cm}
\]

Bây giờ, ta xác định tọa độ các điểm trong hình vuông ABCD. Giả sử:

- \( A(0, 0) \)
- \( B(3\sqrt{10}, 0) \)
- \( C(3\sqrt{10}, 3\sqrt{10}) \)
- \( D(0, 3\sqrt{10}) \)

Điểm M là trung điểm của AC, nên tọa độ của M được tính như sau:

\[
M\left( \frac{0 + 3\sqrt{10}}{2}, \frac{0 + 3\sqrt{10}}{2} \right) = M\left( \frac{3\sqrt{10}}{2}, \frac{3\sqrt{10}}{2} \right)
\]

Diện tích tam giác ABM được tính bằng công thức:

\[
S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h
\]

Trong đó \( h \) là độ cao từ điểm M đến đường thẳng AB. Độ dài cạnh AB là:

\[
AB = 3\sqrt{10} \text{ cm}
\]

Bây giờ ta cần tính độ cao \( h \) từ M tới AB (y = 0):

Toán độ của M là \( \left( \frac{3\sqrt{10}}{2}, \frac{3\sqrt{10}}{2} \right) \). Do đó, độ cao \( h \) chính là tọa độ y của M:

\[
h = \frac{3\sqrt{10}}{2}
\]

Từ đó, diện tích tam giác ABM là:

\[
S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot (3\sqrt{10}) \cdot \left( \frac{3\sqrt{10}}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = \frac{45}{2} \text{ cm}^2
\]

b) Gọi điểm \( I \) nằm trên cạnh \( BC \) sao cho \( BI = 3IC \). Gọi độ dài của BC là \( a = 3\sqrt{10} \):

Tổng chiều dài \( BC \) được chia thành 4 phần: 3 phần là \( BI \) và 1 phần là \( IC \):

\[
BI + IC = 3IC + IC = 4IC \implies IC = \frac{BC}{4} = \frac{3\sqrt{10}}{4} \implies BI = 3 \cdot IC = 3 \cdot \frac{3\sqrt{10}}{4} = \frac{9\sqrt{10}}{4}
\]

Tọa độ điểm I sẽ là:

\[
I\left(3\sqrt{10}, \frac{3\sqrt{10}}{4}\right)
\]

Bây giờ chúng ta cần tính diện tích tam giác BMI. Sử dụng công thức diện tích tam giác với tọa độ 3 điểm:

\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2) \right|
\]

Với \( B(3\sqrt{10}, 0) \), \( M\left(\frac{3\sqrt{10}}{2}, \frac{3\sqrt{10}}{2}\right) \), và \( I(3\sqrt{10}, \frac{3\sqrt{10}}{4}) \):

Áp dụng công thức diện tích:

\[
S_{BMI} = \frac{1}{2} \left| 3\sqrt{10} \left( \frac{3\sqrt{10}}{2} - \frac{3\sqrt{10}}{4} \right) + \frac{3\sqrt{10}}{2} \left( \frac{3\sqrt{10}}{4} - 0 \right) + 3\sqrt{10} \left( 0 - \frac{3\sqrt{10}}{2} \right) \right|
\]

Tính toán các phần:

- \( \frac{3\sqrt{10}}{2} - \frac{3\sqrt{10}}{4} = \frac{3\sqrt{10}}{4} \)
- \( \frac{3\sqrt{10}}{4} - 0 = \frac{3\sqrt{10}}{4} \)

Thay vào công thức:

\[
S_{BMI} = \frac{1}{2} \left| 3\sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{4} + \frac{3\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{4} + 3\sqrt{10} \cdot \left( -\frac{3\sqrt{10}}{2} \right) \right|
\]

Bây giờ,

- \( 3\sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{4} = \frac{9 \cdot 10}{4} = \frac{90}{4} = 22.5 \)
- \( \frac{3\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{4} = \frac{9 \cdot 10}{8} = \frac{90}{8} = 11.25 \)
- \( 3\sqrt{10} \cdot -\frac{3\sqrt{10}}{2} = -\frac{9 \cdot 10}{2} = -45 \)

Giờ tính tổng:

\[
S_{BMI} = \frac{1}{2} \left| 22.5 + 11.25 - 45 \right| = \frac{1}{2} \left| -11.25 \right| = \frac{11.25}{2} = 5.625 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích tam giác BMI là \( 5.625 \text{ cm}^2 \).