Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( X^2 + 2025 + 2024 \), trước tiên ta có thể sắp xếp lại biểu thức:

\[
X^2 + 2025 + 2024 = X^2 + 4049
\]

Biểu thức này bao gồm một số hạng hằng số \( 4049 \) và một hạng tử bậc hai \( X^2 \). Giá trị nhỏ nhất của \( X^2 \) là \( 0 \), xảy ra khi \( X = 0 \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức được tính như sau:

\[
X^2 + 4049 \geq 0 + 4049 = 4049
\]

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( X^2 + 2025 + 2024 \) là:

\[
\boxed{4049}
\]