Để chứng minh các bất đẳng thức cho \( a < b \), ta sẽ giải từng phần một như sau:

### Phần 1: Chứng minh \( 2a + 1 < 2b + 2 \)

1. Bắt đầu với bất đẳng thức \( a < b \).
2. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2:
\[
2a < 2b
\]
3. Cộng thêm 1 vào cả hai vế:
\[
2a + 1 < 2b + 1
\]
4. Thêm 1 vào cả vế bên phải:
\[
2a + 1 < 2b + 2
\]

Vậy \( 2a + 1 < 2b + 2 \) đã được chứng minh.

---

### Phần 2: Chứng minh \( -2a - 5 > -2b - 7 \)

1. Từ \( a < b \), nhân cả hai vế với -2 (nhớ đảo ngược dấu bất đẳng thức):
\[
-2a > -2b
\]
2. Cộng thêm -5 vào cả hai vế:
\[
-2a - 5 > -2b - 5
\]
3. Cộng 2 vào cả hai vế bên phải:
\[
-2a - 5 > -2b - 7
\]

Vậy \( -2a - 5 > -2b - 7 \) đã được chứng minh.

---

### Phần 3: Chứng minh \( 4a + 2 < 4b + 3 \)

1. Từ \( a < b \), nhân cả hai vế với 4:
\[
4a < 4b
\]
2. Cộng 2 vào cả hai vế:
\[
4a + 2 < 4b + 2
\]
3. Cộng thêm 1 vào cả vế bên phải:
\[
4a + 2 < 4b + 3
\]

Vậy \( 4a + 2 < 4b + 3 \) đã được chứng minh.

### Kết luận:
Tất cả các phần đã được chứng minh thành công dựa vào giả thiết \( a < b \).