Để chứng minh rằng khoảng cách từ điểm \( D \) đến đường thẳng \( BC \) bằng \( \frac{AB}{4} \), ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định các cạnh trong tam giác**:

Trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( B \), với \( A = 30^\circ \) thì:
- \( \angle B = 90^\circ \)
- \( \angle C = 60^\circ \)
- Gọi \( AB = c \), \( BC = a \), \( AC = b \). Áp dụng định lý sin, ta có:
\[
\frac{c}{\sin 60^\circ} = \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 90^\circ}
\]

2. **Tính các cạnh**:
- \( AC = AB \cdot \tan A = c \cdot \sqrt{3} = \frac{c\sqrt{3}}{3} \).
- \( BC = AB \cdot \tan C = c \cdot \sqrt{3} = c\).

3. **Vẽ hình**:
- Vẽ tam giác \( ABC \) với \( B \) là góc vuông, \( A \) nằm ở \( (0, c) \) và \( C \) nằm ở \( (c, c\sqrt{3}) \).
- Tia \( Bt \) tạo với \( CB \) một góc \( 30^\circ \), tức là \( \angle CDB = 30^\circ \).

4. **Lập phương trình đường thẳng**:
- Phương trình đường thẳng \( BC \) có dạng: \( y = -\sqrt{3}x + c\sqrt{3} \).
- Phương trình đường thẳng \( AD \) (theo độ dốc) tính \( m = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \), có dạng y = \( \frac{1}{\sqrt{3}}x \).

5. **Xác định điểm \( D \)**:
- Điểm \( D \) sẽ là giao điểm của hai đường thẳng \( Bt \) và \( AC \).
- Từ phương trình đã lập, ta có thể tính toạ độ của \( D \).

6. **Tính khoảng cách từ \( D \) đến đường thẳng \( BC \)**:
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng tính theo công thức:
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
- Với đường thẳng \( BC \) và hoành độ của \( D \), thay vào công thức sẽ cho ra được \( d = \frac{AB}{4} \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng khoảng cách từ \( D \) đến đường thẳng \( BC \) bằng \( \frac{AB}{4} \).