Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích của hình tam giác:

\[
S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{chiều cao}
\]

Đặt cạnh đáy của thửa ruộng là \(b\) (tính bằng cm) và chiều cao là \(h\) (tính bằng cm). Theo đề bài, diện tích của hình tam giác là 180 cm², ta có:

\[
\frac{1}{2} \times b \times h = 180
\]

Rút gọn, ta có:

\[
b \times h = 360 \tag{1}
\]

Theo nội dung bài, nếu tăng cạnh đáy lên 4m (tương đương 400 cm) và giảm chiều cao đi 1m (tương đương 100 cm), diện tích không đổi, tức là:

\[
\frac{1}{2} \times (b + 400) \times (h - 100) = 180
\]

Rút gọn, ta có:

\[
(b + 400) \times (h - 100) = 360 \tag{2}
\]

Giờ ta sẽ giải hệ phương trình gồm (1) và (2). Từ (1), ta có:

\[
h = \frac{360}{b}
\]

Thay giá trị của \(h\) vào (2):

\[
(b + 400) \times \left(\frac{360}{b} - 100\right) = 360
\]

Giải phương trình này:

\[
(b + 400) \times \left(\frac{360 - 100b}{b}\right) = 360
\]

Nhân chéo:

\[
(b + 400)(360 - 100b) = 360b
\]

Mở rộng:

\[
360b + 144000 - 100b^2 - 40000b = 360b
\]

Rút gọn:

\[
-100b^2 - 40000b + 144000 = 0
\]

Chia cả phương trình cho -100:

\[
b^2 + 400b - 1440 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}
\]

Với \(A = 1\), \(B = 400\), \(C = -1440\):

\[
b = \frac{-400 \pm \sqrt{400^2 - 4 \times 1 \times (-1440)}}{2 \times 1}
\]

Tính định thức:

\[
400^2 + 5760 = 160000 + 5760 = 165760
\]

Lấy căn:

\[
\sqrt{165760} \approx 407
\]

Nghiệm:

\[
b = \frac{-400 \pm 407}{2}
\]

Chọn nghiệm dương:

\[
b = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ (cm)}
\]

Vậy, chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là **3.5 cm**.