Để rút gọn biểu thức đã cho, trước tiên chúng ta xác định các thành phần trong biểu thức:

Biểu thức cần rút gọn là:
\[
\frac{x^2 + 2}{x^3 - 1} + \frac{x}{x^2 + x + 1} + \frac{1}{(1 - x)\left(\frac{x^2 + 2}{x^3 - 1} + \frac{x}{x^2 + x + 1} + 1\right)}
\]

### Bước 1: Rút gọn các phân số

1. **Rút gọn \(\frac{x^2 + 2}{x^3 - 1}\)**:

Phân thức \(x^3 - 1\) có thể được phân tích thành \( (x - 1)(x^2 + x + 1) \).

Vậy:
\[
\frac{x^2 + 2}{x^3 - 1} = \frac{x^2 + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}
\]

2. **Giá trị của \(\frac{x}{x^2 + x + 1}\)** không cần biến đổi vì nó đã ở dạng đơn giản.

### Bước 2: Tìm TP chung để cộng
Ta có chung \( (x - 1)(x^2 + x + 1) \) làm mẫu số chung cho các phần trong biểu thức đầu tiên.

Kết hợp các phân số đầu tiên:
\[
\frac{x^2 + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \frac{x(x - 1)}{(x^2 + x + 1)(x - 1)} = \frac{x^2 + 2 + x(x - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}
\]
\[
= \frac{x^2 + 2 + x^2 - x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{2x^2 - x + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}
\]

### Bước 3: Tính phần còn lại

Biểu thức sẽ trở thành:
\[
\frac{2x^2 - x + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + 1/(1 - x)
\]

Mẫu số của \(1/(1 - x)\) cũng có thể biến đổi thành:
\[
=\frac{-1}{(1-x)} = \frac{-1}{1-x} \cdot \frac{(x - 1)(x^2 + 1 + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = -\frac{(x-1)(x^2+1+1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}
\]

### Bước 4: Cộng lại các phần

Rút gọn:
\[
=\frac{2x^2 - x + 2 - (x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}
= \frac{x^2 - 2x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}
= \frac{x - 1}{x^2 + x + 1}
\]

Vì vậy, biểu thức rút gọn cuối cùng là:
\[
\frac{x - 1}{x^2 + x + 1}
\]

### Kết luận

Biểu thức sau khi rút gọn cho ra kết quả:
\[
\frac{x - 1}{x^2 + x + 1}
\]