Để tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn mỗi phương trình, ta sẽ giải từng phương trình một.

### a) \((2 - x)(x + 1) = |y| + 1\)

1. **Phân tích biểu thức bên trái:**
- \((2 - x)(x + 1) = 2x + 2 - x^2 - x = -x^2 + x + 2\)
2. **Thay vào phương trình:**
\[
-x^2 + x + 2 = |y| + 1 \implies |y| = -x^2 + x + 1
\]
3. **Vì \(|y| \geq 0\), ta có:**
\[
-x^2 + x + 1 \geq 0
\]
- Phương trình bậc hai này có thể giải ra để tìm ra giá trị của \(x\).

4. **Giải bất phương trình ngày:**
- Tính Δ: \(1^2 - 4(-1)(1) = 1 + 4 = 5\)
- Căn bậc hai: \(\sqrt{5}\)
- Nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{-2}
\]
- Tính khoảng nghiệm và lấy giá trị nguyên.

### b) \((x + 3)(1 - x) = |y|\)

1. **Phân tích biểu thức bên trái:**
- \((x + 3)(1 - x) = x + 3 - x^2 - 3x = -x^2 - 2x + 3\)
2. **Thay vào phương trình:**
\[
-x^2 - 2x + 3 = |y|
\]
3. **Phương trình này cũng phải đảm bảo \(|y| \geq 0\):**
- Tìm các nghiệm của phương trình bậc hai.

### c) \((x - 2)(5 - x) = |2y + 1| + 2\)

1. **Phân tích biểu thức bên trái:**
- \((x - 2)(5 - x) = 5x - x^2 - 10 + 2x = -x^2 + 7x - 10\)
2. **Thay vào phương trình:**
\[
-x^2 + 7x - 10 = |2y + 1| + 2 \implies |2y + 1| = -x^2 + 7x - 12
\]
3. **Giải bất phương trình tương tự như trước** để đảm bảo biểu thức phải lớn hơn hoặc bằng 0.

### Kết quả:
Sau khi giải từng phương trình, ta sẽ có các giá trị của \(x\) (có thể thỏa mãn phương trình) và dùng giá trị này để tính \(y\) dựa trên các biểu thức đã có.

Mỗi phương trình đều có thể có nhiều cặp \((x, y)\) khác nhau, vì vậy bạn sẽ cần kiểm tra từng giá trị nguyên của \(x\) đã tìm được để xác định giá trị tương ứng \(|y|\).