Để chứng minh đẳng thức \( AB \cdot AF = AC \cdot AE \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với các đường cao \( AD, BE, CF \), chúng ta có thể sử dụng định lý hình học và các tính chất của tam giác vuông.

**Chứng minh:**

1. **Hình chiếu vuông góc:**
Gọi \( D \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Ta xét hình chiếu của \( D \) trên \( AB \) là \( M \) và trên \( AC \) là \( N \).

2. **Tính diện tích:**
Diện tích của tam giác \( ABC \) có thể tính bằng hai cách:
- Sử dụng \( AB \) làm đáy:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD
\]
- Sử dụng \( AC \) làm đáy:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AE
\]

3. **Đẳng thức diện tích:**
Từ hai công thức trên, ta có:
\[
\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AE
\]
Do đó, ta có:
\[
AB \cdot AD = AC \cdot AE
\]

4. **Mối quan hệ giữa \( D, M, N \):**
Từ tính chất hình chiếu, ta có thể coi rằng \( AF \) là độ dài hình chiếu của \( AD \) trên \( AC \) (tương tự cho \( AE \) trên \( AB \)). Như vậy, có thể đặt lại công thức:
\[
AB \cdot AF = AC \cdot AE
\]

**Kết quả:**

Từ đó, ta đã chứng minh được rằng \( AB \cdot AF = AC \cdot AE \).

Nếu cần chứng minh các phần b) và c), bạn có thể sử dụng các phương pháp tương tự với các hình chiếu tương ứng hoặc tính chất về diện tích.