Để chứng minh rằng \( a = b = c \), ta cần phát triển vế trái của phương trình đã cho và so sánh với vế phải.

Cho phương trình:

\[
(a+b+c)^2 + (a-b+c)^2 + (a+b-c)^2 + (-a+b+c)^2 = 4(ab + bc + ca).
\]

**Bước 1: Phát triển các bình phương.**

1. \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)\)
2. \((a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc\)
3. \((a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc\)
4. \((-a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac + 2bc\)

**Bước 2: Cộng tất cả lại với nhau.**

Cộng tất cả các biểu thức trên lại:

\[
4(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + ac + bc) - 2ab + 2ac - 2bc + 2ab - 2ac - 2bc = 4(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + ac + bc).
\]

Từ đó ta có:

\[
= 4(a^2 + b^2 + c^2).
\]

**Bước 3: So sánh với vế phải.**

Ta đã có vế trái là \( 4(a^2 + b^2 + c^2) \) và vế phải là \( 4(ab + bc + ca) \).

Điều này đưa đến:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca.
\]

**Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức.**

Ta hãy nhớ rằng:

\[
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0.
\]

Từ đây, ta có:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0.
\]

Với \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \), ta suy ra rằng:

\[
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0,
\]

điều này chỉ xảy ra khi \( a = b = c \).

**Kết luận:**

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( a = b = c \).