Chúng ta sẽ chứng minh rằng:

\[
\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{2 \sin x}{\sin x (1 + \cos x)}
\]

Bắt đầu từ vế trái:

\[
\frac{\sin x}{1 + \cos x}
\]

Tóm tắt lại ở đây, chúng ta sẽ biến đổi vế phải.

\[
\frac{2 \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{2}{1 + \cos x}
\]

Bây giờ chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{2}{1 + \cos x}
\]

Sử dụng công thức lượng giác, ta có:

\[
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x
\]

Có một công thức khác mà chúng ta biết là:

\[
1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}
\]
\[
\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}
\]

Thay vào trong biểu thức, chúng ta được:

\[
\frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \tan \frac{x}{2}
\]

Cuối cùng, cả hai vế đều gợi ý rằng:

\[
\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \tan \frac{x}{2}
\]

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh rằng biểu thức trên là đúng.