Để chứng minh các bất đẳng thức đã cho, ta có thể sử dụng các phương pháp như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, phương pháp nhóm, hoặc phương pháp biện luận. Dưới đây là các bước chứng minh cho từng bất đẳng thức:

### a) Chứng minh: \( x^2 + y^2 \geq 2xy \)

Đây là một bất đẳng thức nổi tiếng, có thể được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(x - y)^2 \geq 0
\]

Dễ dàng phát triển ra ta có:

\[
x^2 - 2xy + y^2 \geq 0
\]

Hay viết lại:

\[
x^2 + y^2 \geq 2xy
\]

### b) Chứng minh: \( x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx \)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số \( x, y, z \):

\[
(x^2 + y^2 + z^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (x + y + z)^2
\]

Dễ dàng phát triển ra:

\[
3(x^2 + y^2 + z^2) \geq (x + y + z)^2
\]

Khi đó, ta có:

\[
x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{(x + y + z)^2}{3}
\]

Sử dụng phương pháp điều kiện:

Thay \( z \) bằng \( 0 \):

\[
x^2 + y^2 \geq xy
\]

Tương tự như bất đẳng thức a), chúng ta có:

\[
x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx
\]

### c) Chứng minh: \( 3(x^2 + y^2 + z^2) \geq (x + y + z)^2 \)

Từ bất đẳng thức đã chứng minh ở b), ta có:

\[
x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{(x + y + z)^2}{3}
\]

Nhân cả hai bên với 3, ta có:

\[
3(x^2 + y^2 + z^2) \geq (x + y + z)^2
\]

### Kết luận

Tất cả các bất đẳng thức trên đều đã được chứng minh.