Để giải phương trình \( \frac{2}{3} \left( \frac{3}{5}x - \frac{6}{5} \right) - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \left( \frac{4}{5}x - \frac{8}{9} \right) + \frac{1}{3}x \), chúng ta sẽ tiến hành từng bước một.

### Bước 1: Rút gọn hai vế của phương trình

**Vế trái:**

\[
\frac{2}{3} \left( \frac{3}{5}x - \frac{6}{5} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5}x - \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2}{5}x - \frac{12}{15}
\]

Rút gọn \( -\frac{12}{15} = -\frac{4}{5} \), nên vế trái trở thành:

\[
\frac{2}{5}x - \frac{4}{5} - \frac{1}{2}
\]

Để quy đồng, ta có thể viết \( -\frac{1}{2} = -\frac{5}{10} = -\frac{2.5}{5} \), do đó, vế trái có thể viết lại là:

\[
\frac{2}{5}x - \frac{4}{5} - \frac{2.5}{5} = \frac{2}{5}x - \frac{6.5}{5} = \frac{2}{5}x - \frac{13}{10}
\]

**Vế phải:**

\[
\frac{3}{4} \left( \frac{4}{5}x - \frac{8}{9} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}x - \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3}{5}x - \frac{24}{36} = \frac{3}{5}x - \frac{2}{3}
\]

Vậy vế phải có thể viết thành:

\[
\frac{3}{5}x - \frac{2}{3} + \frac{1}{3}x
\]

### Bước 2: Kết hợp lại

Giờ phương trình trở thành:

\[
\frac{2}{5}x - \frac{13}{10} = \frac{3}{5}x + \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}
\]

Để cộng hai số hạng \( \frac{3}{5}x + \frac{1}{3}x \), ta quy đồng:

\[
\frac{3}{5}x = \frac{9}{15}x, \quad \frac{1}{3}x = \frac{5}{15}x \quad \Rightarrow \quad \frac{9}{15}x + \frac{5}{15}x = \frac{14}{15}x
\]

Vậy vậy phương trình giờ là:

\[
\frac{2}{5}x - \frac{13}{10} = \frac{14}{15}x - \frac{2}{3}
\]

### Bước 3: Quy đồng và giải

Bây giờ ta có phương trình:

\[
\frac{2}{5}x - \frac{14}{15}x = -\frac{2}{3} + \frac{13}{10}
\]

Để giải vế trái:

\[
\frac{2}{5} = \frac{6}{15} \Rightarrow \frac{6}{15}x - \frac{14}{15}x = -\frac{8}{15}x
\]

Giờ về vế phải:

\[
-\frac{2}{3} = -\frac{20}{30}; \quad \frac{13}{10} = \frac{39}{30} \quad \Rightarrow \quad -\frac{20}{30} + \frac{39}{30} = \frac{19}{30}
\]

### Bước 4: Nhóm lại

Ta có:

\[
-\frac{8}{15}x = \frac{19}{30}
\]

Nhân cả hai bên với \(-1, \frac{15}{8}\):

\[
x = -\frac{19 \cdot 15}{30 \cdot 8}
\]

Rút gọn và giải \( x \):

\[
x = -\frac{19 \cdot 15}{240}
\]
\[
x = -\frac{285}{240} = -\frac{57}{48}
\]

### Kết quả
\[
x = -\frac{57}{48}
\]