Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \( BM = BN \)

Hình đã cho là tứ giác \( AMBN \). Theo tính chất của hình thoi, ta có các cạnh đối diện bằng nhau (cạnh \( AM \) bằng cạnh \( BN \) và cạnh \( AB \) bằng cạnh \( MN \)).

Ngoài ra, với góc \( \angle AMN = \angle BMN = 42^\circ \) và \( \angle ANM = \angle BNM = 38^\circ \), ta có:

- Tam giác \( AMN \) và tam giác \( BNM \) đồng dạng bằng góc (góc \( AMN \) và \( BNM \) ở vị trí đỉnh, hơn nữa phía còn lại cũng có góc tương ứng bằng nhau).
- Từ đó suy ra \( BM = BN \).

### b) Chứng minh \( AB \) là trung trực của \( MN \)

Để chứng minh \( AB \) là trung trực của \( MN \), ta cần chứng minh rằng \( MA = MB \).

Dễ nhận thấy, vì \( BM = BN \) nên ta có:

- Tam giác \( ABM \) và \( ABN \) cũng sẽ đồng dạng, do đó \( AM = AN \) và \( BM = BN \).

Theo định nghĩa của trung trực, vì \( M \) và \( N \) là 2 điểm cách đều \( A \) và \( B \) nên ta có thể kết luận rằng \( AB \) là trung trực của \( MN \).

### c) Chứng minh \( GA = GN \)

Gọi \( O \) là trung điểm của \( AN \). Đường thẳng vuông góc với \( AN \) tại \( O \) cắt \( AB \) ở \( G \).

Từ \( O \) là trung điểm của \( AN \), ta có:

- \( AO = ON \)
- Và với tính chất của hình thoi, ta có \( GA = GN \) do tam giác \( AOG \) và tam giác \( NOG \) là tam giác vuông tại \( G \), nghĩa là \( GA = GN \).

### Tình huống \( \angle GAB = \angle GNA \)

- Theo tính chất góc vuông trong tứ giác \( AMBN \), nên ta có:
\( \angle GAB + \angle GNA = 90^\circ \).

Như vậy, toàn bộ các yêu cầu đã được chứng minh xong.