Để chứng minh rằng \(OC = OD\) cho tứ giác \(ABCD\) với điều kiện \(AB = AD + BC\), ta xem xét một số tính chất về các tia phân giác và hình học của tứ giác.

1. **Điều kiện ban đầu**: Ta có \(AB = AD + BC\). Điều này có thể được tạo thành từ tam giác \(ABD\) và \(BCD\).

2. **Tia phân giác**: Gọi \(O\) là giao điểm của các tia phân giác của các góc \(A\) và \(B\). Tia phân giác sẽ chia góc thành hai phần bằng nhau.

3. **Sử dụng định lý tia phân giác**: Theo tính chất của tia phân giác, ta biết rằng:
- Tia phân giác của góc \(A\) chia cạnh đối diện \(BC\) thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh \(AB\) và \(AD\).
- Tia phân giác của góc \(B\) chia cạnh đối diện \(AD\) thành hai đoạn tỉ lệ với \(AB\) và \(BC\).

4. **Xét tỉ lệ đoạn thẳng**:
- Đặt \(AC\) và \(BD\) giao nhau tại \(O\). Theo định lý tia phân giác, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{AC}, \quad \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{BD}
\]
- Từ điều kiện \(AB = AD + BC\), có thể rút ra rằng:
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{AD + BC}{BC} = 1 + \frac{AD}{BC} \text{ (1)}
\]
- Tương tự, ta có:
\[
\frac{BO}{OD} = \frac{AB}{AC} \text{ (2)}
\]

5. **Kết luận**: Từ (1) và (2), ta có thể thấy rằng \(OC\) và \(OD\) sẽ bằng nhau do tỉ lệ của các đoạn thẳng được chia đồng đều. Từ đó suy ra rằng \(OC = OD\).

Do đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
OC = OD
\]

Chứng minh đã hoàn thành.